BULETINUL SOCIETĂŢII UE ŞTIINŢE 329 



Si ce determinant est different de zero, le probleme admet une 

 solution et une seule; s'il est nul c'est l'equation integrale sans 

 second membre qui aura toujours des solutions, et precis^ment 

 p — n, si n est l'ordre du mineur le plus eleve qui n'est plus nul. 



Pour que l'equation avec second membre ait aussi des solutions, 

 ii faut et ii suffit que le determinant adjoint soit nul, ce qui nous 

 conduit dans le cas general â une relation de la forme : 



/"a rx m, — I /*a r /"x m» — I 



b, / dx / F,(x)dx +bJ dx / F^dx + 



J o J o J o J o 



+ bp/ dx/ F,(i)dx =o 



ou bj, •••• b p sont certaines constantes donnees, independantes du 

 second membre f(x). 



Si l'on introduit un parametre A, la solution y apparaît comme 

 une fonction meromorphe de X, la densite" de ses poles etant celle 

 dune fonction entiere de genre zero. 



9. Passons maintenant au cas general, c'est-â-dire au probleme 

 suivant : 



Determiner tine solution de l'equation integrale telle que 

 son integrale d'ordre p s'annuelle au point a,,; p prend toutes 

 Ies valeurs de i ă l'infini. 



La solution sera donn£e, d'apres le raisonnement precedent, 

 par l'expression : 



(15) y=F 1 (x) + k 1 * 1 (x) + k 2 * 2 (x) + .... +M,,(x) + .... 



ou l'on a : 



k p = I dx / ydx 



J o J o 



Pour oLtenir Ies constantes k f „ ii faudra inte'gi-er p — i fois de 

 o â x et ensuite de o â a p ; ceci nous donne l'equation gdnerale 

 suivant': : 



(16) k p = f,,4-a,, 1 k, +a,,jk, + •••• + a P pk p + .... 



En donnant â p toutes Ies valeurs de A â l'infini, nous obtenons 

 infinite* d'equations linlaires â une infinite* d'inconnues donl 

 fterminant est : 



