153:2 BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 



oralei primului membru şi să căutăm a satisface ecuaţiei (5) printr'o 

 desvoltare de forma 



(6) ?(X)= <P (X) +A ?1 (x) + X 2 ?2 (X) + . . . -f Xn ?n ( X )+ . . . 



ş (x)© 1 (x) . . . ip n (x) . . . fiind diferitele aproximaţii succesive 

 pe cari trebuie să le determinăm. Identificarea ne dă imediat rela- 

 ţiunile 



<Po(x) = F 4 (x) 



9 t (x) = — /' X N 1 (xs)(p (s)ds. 



J o 



(7) 



<p a (x) = —j N 1 (xs)ş„_i(s)ds. 



care ne permit să calculăm într'un mod succesiv diferitele aproxi- 

 maţiuni. 



Seria aproximaţiunilor (7) convergează uniform în intervalul 

 (o, a). Intr'adevăr fie M şi N modulele maxime ale funcţiunilor 

 F a (x) et.N^xs) în acest interval; avem evident inegalităţile: 



I ?o(x) | <M 

 I ?1 (x) I <MNx 



(7') 



MN»x» 



I ? n (x) l <— ^r 



Ele ne arată că seria (6) reprezintă o funcţiune întreagă de \, 

 de ordin cel mult egal cu 1 ; ea convergează deci absolut şi uni- 

 form în intervalul considerat. 



Seria (6) fiind uniform convergentă în raport cu x, integrala 

 care figurează în ecuaţia (5) are un sens perfect de bine determinat; 

 pe de altă parte această serie verifică formal ecuaţiunea (5) şi e 

 absolut convergentă. Ea va fi, prin urmare, o soluţie finită şi bine 

 determinată a ecuaţiei (5). 



Putem demonstra acum că această soluţiune este şi singura so- 

 lnţiune finită a ecuaţiei (2). Intr'adevăr dacă ar mai exista încă una. 

 ecuaţia (5) fără membru al doilea. 



($) ? (x)+^ X N(xs) ? (s)ds=o. 



