BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 633 



ar avea o soluţiune neidentic nulă, ceeace e imposibil, fiindcă din 

 (7) şi (8) se deduce prin scădere 



?(x) — ? »(x) = — r X N 1 (xs)[?(s) — ?11 _i(s)]ds. 



J O 



Se obţin deci inegalităţi identice cu (7') în care trebuie numai să 

 înlocuim pe ?„ (x) prin o(x) — © n (x). In virtutea raţionamentului 

 precedent rezultă că expresiunea 



* n [?(*) — ?n00] 



este termenul general al unei serii, funcţiune întreagă de X şi, prin 

 urmare 



lin [©(x) — © n (x)] = o. 



De la ecuaţia (5) sau (4) ne ridicăm iarăş la ecuaţia (2) printr'o 

 integrare, ceeace ne dâ : 



(9) j N(xs)?(s)ds = F(x) — F(o). 



Ecuaţia (2) nu admite deci soluţia cp(x) decât dacă F(o) = o, 

 condiţiune necesară şi evident suficientă 1 ). 



Am obţinut astfel teorema următoare : 



Dacă X(xy) şi F(x) sunt funcţiuni odată derivabile în ra- 

 port cu x în intervalul (o,a) şi dacă N(xx) + o şi F(o)=o, ecua- 

 ţia lui Vollerra de prima speţă. 



rN(xs)<p(s)ds = F(x) 



admite o singură soluţie finită şi continuă în acest interval. 

 3. Dacă considerăm ecuaţia lui Volterra de a doua speţă, 



(10) <p(x) + \J X N(xs)<D(s)ds = F(x) 



Condiţiunile restrictive ale teoremei precedente nu mai sunt 

 evident necesare. F.cuaţia cea mai simplă este deci aceasta ; am 

 păstrat cu toate acestea terminologia D-lui I). Hilbert, pentru a 

 evita orice confuzie. 



l ) Aoeattl te'irem.l a fo»t stabiliţi) pentru întâia 0«rH 'le d-1 I. \c Roux în tc/a :.a de doi 

 ni integralelor tcuafiunilor lunare cu derivau farfialt tir ordinul al doilea cu j 

 variabili indtfendtntt (pag. 19—22) 1S74. 



