636 BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 



pentru a obţine astfel ecuaţia lui Volterra 



r x [ (x — s)"— n 



z +J L ai ^ + a2(x ^ x— s ^ +■•■• + a "( x )( n — i)rj ?(s ^ ds 



(14) 



= f(x)+2c p f p (x). 



p=l 



Am presupus, bine înţeles, că origina este un punct regulat 

 pentru coeficienţii ai(x). Să observăm, în treacăt, că proprietăţile 

 elementare ale ecuaţiilor diferenţiale lineare, cu sau fără membru 

 al doilea, decurg imediat din teorema precedentă. 



Pentru ca membrul al doilea din (14) să aibă o valoare perfect 

 determinată, trebuie ca constantele Q să aibă valori date. Deci, 

 invers, rezolvarea unei ecuaţii a lui Volterra (14) este echivalentă 

 cu rezolvarea unei probleme a lui Cauchy pentru ecuaţia dife- 

 renţială lineară (12). Unicitatea soluţiunii în teoria ecuaţiei lui Vol- 

 terra corespunde faptului că problema lui Cauchy nu admite, în- 

 tr'un punct regulat, decât o singură soluţiune. 



6. Vom obţine un rezultat interesant care ne va lămuri natura 

 analitică a ecuaţiei lui Volterra, făcând n = oc în ecuaţia diferen- 

 ţială (13). Căpătăm, astfel, ecuaţia diferenţială lineară de ordin 

 infinit. 



z + a^pzdx + a^/'W- + . . . +■ a n (x)Pzdx n -j- . . .= f(x) 



00 



+ £c p fp( X ), 



in care 



(x)=2 



f p( x )=,~, a p+'-( x )y! 



care e echivalentă cu ecuaţia lui Volterra. 



(15) M ' ^"^ 



+ 



? (s)ds = f(x)+£ c P f i'W- 



p-1 



