8a8 BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 



Pentru a 'găsi o soluţiune a ecuaţiei (16J vom aplica metoda 

 aproximaţiilor succesive luând 



?i( x y) = F ( x y)« 



5pj(xy) = — / x A(xys) © 1 (sy)ds — / x B(xys) © 1 (xs)ds — 

 ( 17) ^ I J^ x C(xyst)<p 1 (St)dsdt = D ? ,(xy). 



<p n (xy) = D<p n _i(xy). 

 In dreptunghiul (i) de laturi a şi (3, cuprins în D, vom avea: 



I ?i(xy) I <F. 



I 9s(xy) I <MF(x+y+xy)<MF (a+(3-fa[3). 



| ?3 (xy) | <M 2 F(«+p+«P)(x+y+xy)<M*F(a+HaP) ! 



şi, în general 



| ? „(xy) | <FMn(a-f-P+ap)n. 



Rezultă de aci că seria aproximaţiilor converge complet J ) în 

 dreptunghiul (i) dacă vom luâ pe a şi (3 suficient de mici, aşa că: 



M(a+p+«P)<l. 



Obţinem astfel o soluţiune. de altfel singura în dreptunghiul ( 1 1 

 in virtutea unui raţionament deja repetat. 



Pentru a prelungi această soluţiune în tot domeniul D, să con- 

 siderăm dreptunghiul (2) situat la dreapta dreptunghiului | 1 ) şi 

 avAnd aceleaşi dimensiuni. Dacă facem schimbarea de variabil" 

 x = a-f- x' şi y =y', ecuaţia (16) se poate pune sub forma 



(18) 



<p(x'y')-J-/ A(x'y's>p(sy')ds-|-/ ! B(x'y's)!p(x's) is+ 



J u J 



( *'/ y C(x'y'st)9(st)dsdt=F-f-tf 



membrul întâi având aceeaş formă ca (16), iar * fiind o func- 

 ţiune uşor de determinat care depinde şi de valorile lui (p(xy) în 

 dreptunghiul (1) acum cunoscute noă. Vom putea deci aplica acelaş 

 mecanism de aproximaţii succesive, înlocuind pe F prin F-j-^ : 



■) Vom saline adesea 'complet», în loc de «uniform şi absolut». 



