8G8 BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 



ce ecuaţie integrală ca izvorul unei serii de funcţiuni ortogonale şi 

 de a lega studiul desvoltării funcţiunilor arbitrare în serii de func- 

 ţiuni ortogonale, la teoria ecuaţiilor integrale. 



Lucrările d-lui D. Hilbert au apărut in 6 comunicări făcute So- 

 cietăţii de Ştiinţe din Gotlingen l ); prima, a patra şi a cincea nu- 

 mai, tratează despre teoria pură; celelalte sunt consacrate aplica- 

 ţiunilor. Toate rezultatele datorite d-lui D. Hilbert au fost regăsite 

 şi completate de unul din elevii săi, d-1 E. Schmidt" 2 ), care în a sa 

 «Inaugural Dissertation» făcu o expunere foarte elegantă, repede 

 răspândită şi utilizată, a rezultatelor principale teoretice privitoare 

 la ecuaţia lui Fredholm cu sâmburele simetric. 



Cazul sâmburelui nesimetric, tratat de asemenea de d-nii D. 

 Hilbert şi E. Schmidt reclamă noi cercetări. Deja din 1903, într'o 

 lucrare foarte remarcabilă, d-1 J. Plemelj 3 ) descopere seria de func- 

 ţiuni biorthogonale, cari sunt generalizarea funcţiunilor orthogo- 

 nale. Aceste funcţiuni au fost regăsite de d-1 B. Heywood 1 ) cu aju- 

 torul unei metode de identificare foarte simplă; însă d-1 E. Gour- 

 sat 5 ) este acela care într'un memoriu fundamental pune în evidenţă 

 toate elementele esenţiale ale problemei : noţiunea de sâmburi or- 

 thogonali care rezultă din studiul aprofundat al sâmburelui rezol- 

 vant, e instrumentul de cercetare comod care face inutilă orice trecere 

 la limită şi permite a trată ecuaţia integrală în cazul general. 



Vom expune aci o metodă mixtă, folosindu-ne de toate lucrările 

 precedente. Metoda constă în perfecţionarea metodei urmată de d-1 

 B. Heywood şi deducerea tuturor rezultatelor obţinute până acum şi 

 altele noi numai din studiul aprofundat al sâmburelui rezolvant. 



Nu va fi vorba în această parte decât de sâmburi şi funcţiuni 

 finite şi integrabile. 



l ) D. lin hert. GruniUiige einer allgemeinen Theorie cler Integralgleichungen tGott. Nach- 

 rich'en), Krste Mitteilung (5 Marlie 19:14). 2-te Mitteilung (25 [unia 1904). 3-te und 4-te Mittei- 

 lung (1901;). 5-te (1906). 6-te (1910). 



"-) E. Schmidt. Entwuklung wilikiirlicher Functimien nach Systemen vorgeschriebener(i9o5 

 Iulie) şi Math. Ano. Bd. 63. 1907, pag. 433 — 476. 



3 ) I. Pl.EMELJ. Fredholmsche Functionalgleichungen in der Potentialt'.ieorie. (Wien, 12 

 Marş 1903) şi Zu- theorie der Fridholmscheu Functionalgleichung (Monatshefte fur Math. und 

 Physik XV 1903, pag. 93—128. 



4 ) B. IIeywOOD. Sur 1'cŞquation fonctionnel'e de Fredholm, l-re Pârtie. (Jl de Math. pures et 

 applique>s 1908). 



*) E. GoURSAT. Recherches sur Ies e'quations in^grales lineaires. (Ann. de la Fac. de Tou- 

 louse, tome X, 2 e serie 1908, pag. 5 — 98). 



