BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 869 



II. PRIMA. TEOBEMA A D-LUI FREDHOLM 



3. Elementul analitic al soluţiunii. Să cons ; derăm ecuaţia 

 integrală 



(7) ? (x-) + x/;N(xs)9(s)d^f(x.) 



Dacă aplicăm, ca în cazul ecuaţiei lui Volterra. metoda aproxi- 

 maţiilor succesive, obţinem seria 



©(x) = f(-/.)— X| b N (xs)f(s)ds + X 2 f b N,('xs)f(s)ds+ . . . 

 (S) ' " . Ja 



+ (-i) P A p J a b N p _ i (-, ! s)f(s)ds+... 



însemnând ca şi în cazul ecuaţiei lui Volterra 



(9) N (xy) = / °. . ./ ^(xs^N^s,) . . . N(s y) ls,ds, . . . ds 



Vom numi expresiunea (9) sâmburele iterat de ordin p. Seria 

 (8) convergează complet în intervalul ab pentru X suficient de 



mic; într adevăr ea admite ca majorantă seria 2-<N p x p , ceeace ne 



p = o 



arată că convergează complect dacă X<0*j ; vom putea prin ur- 

 mare scrie (8) sub forma 1 ) 



(101 ş(ît)=f(jc)— X [S%(xsk)((s)ds, 



însemnând 



(11) S?(xyx)=N(xy)-XN 1 (xy)+ . . +(- l) p X p N p _ x (xy)+ .... 



Această expresiune (1 1) va fi numită sâmburele resolvant al 

 ecuaţiei integrale (7). 



Expresiunea ( 1 o) a soluţ : unii ne procură o observaţie importantă : 

 Caracterul analitic al soluţiunii (10) în raport cu X depinde în 

 primul rând de acela al sâmburelui rezolvant. Studiul soluţiunii (10) 

 revine deci la acela al sâmburelui rez >lvant, care nu depinde decât 

 de sâmburele ecuaţiei integrale; membrul al doilea f(-/.) nu inter- 

 vine, cum se va vedea mai târziu. 



'. In capitolele ref-riioare la '-cua;ia lui Fre Iholia vom suprima, pentru uşurinţH ele scrierei 

 limitele <i >i li <\f !.-■ lemnul 1 



