874 BULETJNUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 



sunt reciproce. Intr'adevăr, să facem ipoteza că ar mai exista o 

 altă soluţiune jpj (x), astfel încât 



(20) 9,(x) + X|N(xsjp,(s)ds=f(x) 



lnlocuin:l în (19) valoarea lui f(x) dedusă din (20), obţinem pu- 

 nând în evidenţă sub semnul / funcţiunea y 4 (x) : 



? (x) == ?1 (x) + xj [N(xs) — 6%(xsk) + X / Stf(xtX)N(ts)dt] <pj(s)ds. 



Insă în virtutea ecuaţiilor integrale ale sâmburelui rezolvant, ex- 

 presiunea sub semnul f este nulă; deci: 



?( x ) = 9i( x ) 



Soluţiunea ^(x) coincide deci în mod necesar cu a>(x). 

 8. Prima teoremă a d-lui I. Fredholm. Se pot rezuma toate 

 rezultatele obţinute în acest capitol, în teorema următoare : 



Ecuaţia <p(x") + ~ A / N(xs)ş(s(ds = f(x) 



în care funcţiunile N(xy) şi f (x) sunt finite şi integrabile în 

 domeniul ab, admite o soluţiune, şi mimai una singură, dată 

 de formula : 



o(x) = f(x) — X f Q%(xs\)Us)ds 



în care iV(xsX) reprezintă catul a două funcţiuni întregi în 

 X,D(xyX) şi D(X), de ordin cel mult egal cu doi. 

 Aceasta este prima teoremă a d-lui I. Fredholm. 



III. ZERORILE FUNCŢIUNII D (X) 



9. Desvoltarea funcţiunii logD(X) ; urmele sâmburelui. O 

 formulă importantă, datorită de asemenea d-lui I. Fredholm, ne 

 va fi foarte folositoare în cele ce urmează. Pentru a o stabili, să 

 observăm că legea de dependenţă (16) între coeficienţii a p şi A p (xy) 

 ne permite să scrim : 



dD(X) 



". - "ax- 



= / D(ss)ds 



