S7I» BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 



taţii lor. Aceste zerori joacă un rol fun lamentai în teoria ecuaţiei 

 lui Fredholm: le vom numi valorile caracteristice ') ale sâmbu- 

 rel ii, iar D(X) funcţiunea caracteristică a sâmburelui. 



1 1. Condiţiunea de neexistenţă a valorilor caracteristice. Des- 

 voltarea în produs infinit a funcţiunii D(X) este de forma 



D(V) = e ai + ^n e(±) 



, A 

 inse 



mnânJ prin E .— factorul primar corespunzător lui X r ,. Dacă 

 D(X) n'are nici un zero. ea se va reduce la 



(24) D(X) = e 



de unde deducem 



log D(X) = a A + (Ta 2 



Comparând cu desvoltarea cunoscută (23) a funcţiunii log D(X), 

 vedem că în acest caz 



n. Hj - . . - n,, . . , -o. 



Reciproc, dacă n,, - o (p>3), D(A) va fi neapărat de forma (24) 

 şi prin urmare nu vom avea valori caracteristice. Deci 



Condiţiunea necesară şi suficientă pentru ca un sâmbure să 

 nu aibă nici o valoare caracteristisă este ca urmele sale, în- 

 cepând de la a treia, să fie toate nule -). 



12. Cazul unui număr finit de valori caracteristice. Când 

 valorile caracteristice sunt în număr finit, funcţiunea D(A) va 

 avea forma 



( , s) dm.-* (,+!)(, +£)„.(, + > 



de unde rezultă 



log D(X) = aX + pA-+ 2 log ( 1 4- ^ ) 



1 \ A P / 



şi identificând cu (23) 



n " a7 + x7 + -- + a7^> 2) 



') Eigenwerie ( în limba germanîl.i Hilbert. 



'-) T, Lalbsco, Sur l'ordre de la loncttn D</. de Fredholm. CR. Tome 14^, 1907, pag. 906. 



