878 BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 



cari îndeplinesc condiţiunile 



r 



J<pi( s )^k( s ) ds f= s ik 



Un sistem ortogonal sau biortogonal este complect (ferme, 

 abgeschlossen) dacă nu-i mai putem adăuga nici o altă funcţiune 

 sau pereche de funcţiuni. 



Funcţiunile ? (x) şi •]/ (x) cari au acelaş indice, sunt numite func- 

 ţiuni asociate. 



Funcţiunile unui sistem ortogonal sunt linear independente, 

 căci o relaţie de forma 



i 1 



S c k?k( x ) = 9 



•î 



înmulţită cu <p k (x) şi integrată de la a la b ne dă c k = o. In acelaş 

 mod, funcţiunile unui sistem biortogonal, aparţinând unui 

 aceluiaş grup, sunt de asemenea linear independente ; aceeaş 

 demonstraţie, înmulţind cu *| n (x) dx. 



2. Bi şi ortogonalizarea unui şir de funcţiuni. Reciproc, fiind 

 dat un şir de funcţiuni linear independente, putem deduce prin 

 combinări lineare un sistem ortogonal de funcţiuni. Iată cum pro- 

 cede D-l E. Goursat ') : 



Fie 



(0 ?lW,? 2 (x) • • • • ?„(*) 



funcţiunile date. Să luăm t I > i(x) = ? J (x) şi să alegem coeficienţii 

 c., c 3 . . . c n astfel ca 



ji? P (s) — c p © 1 (s)]? 1 (s)ds = o (p= i, 2,... n). 

 Dacă însemnăm 



?,,( x ) — c p?iW — ?'p( x ) 

 obţinem şirul de funcţiuni 



<h,(x) ? y x ) . . . ?'» 



pentru care vom avea 



/? / p ( s )*l( s ) ds = ° (p = 2,...n|. 



'■) E. GornSAT (Mem. cile. Toulouse, paj. 66 1 



