BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 881 



Acest sistem nu este unic ; într'adevar, dacă punem 



*' P ( x )=2 a pr*r( x ) 



n=l 



(5) „ (P=i,-n) 



'^p( X )=2 b pr?r(x) 



n=l 



funcţiunile <î>' r (x) şi ?'f'(x) vor forma şi ele un sistem biortogonal, 



daca 



n=i 



(5') ^a ir b| ir =S i k. 



n 



Determinantul | a,t | £ o este arbitrar; relaţiunile (5') determină 

 însă, odată | a± | dat, într'un mod unic determinantul | bjk | . 



Reciproc dubla substituţiune (5) pe care noi o vom numi substi- 

 tuţiune biortogonală ne dă sistemul biortog-onal cel mai general 

 echivalent cu (3). 



Procedeele regulate de reducere sunt evident aplicabile şi în cazu- 

 rile când şirurile (1) şi (3) sunt infinite. 



n 



3. Funcţiunile de forma <o(xy)= ]jj ? P ( X )'W V )- 



p=i 



vom avea nevoie mai târziu de următoarea teoremă : 

 Dacă o funcţiune o(xy) a cărei urmă este finită, verifică relaţia 



(6) <p(xy) =J?(xs)(p(sy)ds, 

 ea e neapărat de forma : 



(7) ?i( x )Hy) + ?2(*)'| 2 (y) + • ■ • + ?n(x>| n (y) 



funcţiunile 9 şi l formând două grupuri ale unui sistem bior- 

 togonal. 



Să observăm mai întâiu că urma este neapărat^un număr întreg 

 şi pozitiv. într'adevar, să considerăm ţ(xy) ca sâmburele unei 

 ecuaţii integrale tipul Fredholm de speţa a doua; în virtutea reia- 

 ţi Ă 6) toţi sâmburii iteraţi sunt identici şi prin urmare toate urmele 

 sâmburelui sunt egale cu 



•pi = /?(ss)ds 



3 



