882 BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 



vom avea deci : 



TX X2 X" 1 



log. D(X)=?| T --+ . . . . + (-i)n-1_- + . J = ?1 log(i+X) 



de unde 



(8) D(X)=(i+X)(i-f-X)». 



aceasta ne arată că Şj este un număr întreg şi pozitiv n. Astfel 

 fiind, să formăm funcţiunea 



, > ?(xyi)cf(x iy ) 



?(xy) ~ s (xV:') =?(xy) - 



Această funcţiune verifică de asemenea relaţia (6) însă w/wa 

 sa este n — i. 



Intr'adevăr, avem : 



/ ?i(xs)?,(sy)ds = ţ>(xs)- ,V ;J m * o(sv) - A ' ,' M f- ; 

 ^ J L' ?(x t yi) J L' ?( x i7i) 



=Wxy) — ?( x >'ite(*'y) _ ?( x yi)?( x i>~) _i_ ?( x yiM x iy. 



?( x iyi) ?( x iYi) ?( x iyi 



9(xy 1 )?(x 1 y) 

 = <p(xy) — T y ' .' = Si(xv). 



Urma sa este 



C i <j f , %j y <p(x 1 s)9(sy I )ds 



/<Pi(ss)ds= /(p(ss)ds ' ' \ =n— i 



J J ?( x iYi) 



Putem atunci aplica funcţiunii a>i(xy) acelaş procedeu ca şi lui 

 cp(xy), astfel că vom putea scrie cp(xy) sub forma 



<p(xy) = <p d (x)K(y) + ?- 2 (x)^ 2 (y) -f- . . . + ?n(x)^ n (y) + X(xy) 



X(xy) fiind o funcţiune verificând relaţia (6) însă având o urmă 

 nulă ; zic acum că X(xy) este identic nulă. Intr'adevăr, sâmburele 



său rezolvant ar fi ^, ceeace este imposibil fiindcă D(X) == i ? 



după cum rezultă din (8) unde c[ = o ; deci /-(xy) = o. 



Condiţiunile de biortogonalitate rezultă atunci scriind că expre- 

 siunea (7) verifică relaţia (6). Trebuie să avem : 



2 4 P (xH P (y) =&WWy) / ? ,(s)'| k (s)ds, 

 p=i 



