1212 BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 



este distinctă ; celelalte snnt consecinţe ale identităţii ( 24). In- 

 tr'adevăr 



/ ? m (\s)ş k (sy)ds= f ş m (xs)ş 2 (st)Şk-i(ty)dsdt=o. 



Pentru a enuntâ în mod simplu rezoltatele pe cari le-am obţi- 

 nut până acum, vom zice mai întâiu că funcţiunile © şi <\i formează 

 un sistem de funcţiuni principale şi vom observă după aceea că 

 formulele (23 b), nu exprimă altceva decât că sâmburii ? k (xy) 

 (k>2) se obţin din i ş i (xy) prin iteraţii succesive; în sfârşit condi- 

 ţiunea (24) se poate enunţa zicând că sâmburele iterat de or- 

 dinul m — 1 al lui rp.-, (xy) este identic nul. Putem atunci rezuma re- 

 zultatele obţinute sub forma următoare : 



a) Funcţiunea ş, (xy) este o sumă de produse de funcţiuni 

 asociate ale unui sistem biortogonal finit, numite funcţiuni 

 principale: avem : 



n 



?i (xy)=2> p ( x )^ p (y). 

 P =i 



b) Funcţiunea ş> 3 (xy) este o formă bi lineară de funcţiuni 

 principale ; avem: 



(24') ?.>(*y)--=I>k?i (x)? k (y). 



i.k=! 



c) Celelalte funcţiuni ş k (xy) se obţin din ş 2 (xy) prin iterâri 

 succesive; dacă polul este de ordinul m, sâmburele iterat de 

 ordinul m — / al lui ?. 2 (xy) este identic nul. 



Reciproc, metoda urmată ne arata că, fiind dat un sistem biorto- 

 g-onal de 2p funcţiuni o şi •!. precum şi un tablou de constante ] ai k !, 

 astfel încât sâmburele iterat de ordinul m — 1 ((m^n) al expresiunii 

 (24') este identic nul, atunci funcţiunea G(xy), formată cu aceste 

 elemente prin aplicarea formulei (15) va fi partea caracteristică a 

 unui sâmbure, relativă la un pol de ordinul m. 



III. A DOUA SI A TREIA TEOREMĂ'A D-LUI FREDHOLM 



11 



8. Studiul direct al sâmburilor de forma V a p (x)b p (y); ran- 



p = i 

 gul unei valori caracteristice. Vom începe acest capitol cu stu- 

 diul direct al sâmburilor de forma : 



