UU BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 



Teoria ecuaţiunilor lineare, aplicată sistemului (28) ne permite 

 deci a enunţa rezultatele următoare : 



a) Dacă determinantul DCk) este diferit de zero, sistemul 

 1 28) admite un singur sistem de soluţiuni ; deci, în acest caz. 

 ecuaţiunea lui Fredholm admite o singură soluţiune dată de 

 expresiunea (27). 



bl Dacă D(k) = O — ceeace are loc pentru n valori ale lui A — 

 ecuaţiunile (28) omogene, adică fără membru al doilea, vor admite 

 soluţiuni. Dacă ordinul minorului principal al sistemului (28) este r 

 pentru A = Aj (minorul este un determinant de ordinul n — r), so- 

 luţiunea generală a sistemului va fi de forma; 



k p — p 1 m lp +p 2 m 2p + . . . +p r m rp (p = 1, . . . n) 



?! pj, . . . p r fiind parametri arbitrari. înlocuind: valorile lui k p 

 astfel obţinute în expresiunea (27) a lui ş(x), obţinem : 



?(x) = pi ?i(x)+p 2 ?*(X)+ . . . + p r ?r (X) ; 



iar funcţiunile 



<p q (x) = m qi a^-l-mqa a 2 (x)+ ...-+- m qn a u (x) (q = 1, .. . r) 



sunt linear independente. 



In acest caz, prin urmare, ecuaţiunea omogenă fără membrul 

 al doilea va admite r soluţiuni linear independente. Ele se 

 numesc soluţiuni fundamentale ale ecuaţiunii integrale (25'). 



Vom numi rang al unei valori caracteristice, numărul de so- 

 luţiuni linear independente pe cari le are ecuaţiunea omogenă 

 pentru A — A,. In cazul nostru, rangul lui A ( este r. 



ci Ecuaţiunea asociată 



■b{x) + X j [a,(s)b t (x) + . . . + a n (s)b n (x)]-fts)ds==f(x) 



se obţine din (25') schimbând funcţiunile a q (x) şi b q (x) între ele. 

 Termenul general al determinantului sistemului (25') fiind 



«ik =/ a ; (s)b k (s)ds 



acel al ecuaţiunii asociate va li 



/ bj (s)ak(s)ds=a ki . 



