BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 1.223 



De oarece X, na mai este valoare caracteristică a sâmburelui 

 P,(xy), vom putea rezolva această ecuaţiune, ceeace ne dă : 



o(xj = — X, /G,(xs)?(s)ds -f- X, /P,(xsX)G 1 (st)'p(f)dsdt, 



adică tocmai ecuaţia 137), de oarece al doilea termen din membrul 

 al doilea este şi el nul în virtutea proprietăţii de ortogonalitate. 



Obţinem astfel teorema următoare : 



Dacă X este egal ca o valoare caracteristică X, de multipli- 

 citate n şi de rang r, ecuaţia lui Fredholm omogenă va admite r 

 soluţiuni linear independente, numite soluţiuni fundamentale. 



Ecuaţiunea asociată are exact acelaş număr de soluţiuni 

 fundamentale. Aceasta este teorema a doua a d-lui Fredholm. 



14. Teorema a treia a d-lui Fredholm. Raţionamentul prece- 

 dent ne arată că şi ecuaţiunile 



Şi 



? (x) + X, jN(xs)!p(s)ds = f(x) 

 ?(*) + h J G 1 (xs)<p(s)ds = f(x) 



sunt de asemenea reciproce ; ele deci vor fi compatibile în acelaş 

 timp. 



Prin urinare, aplicând un rezultat deja stabilit relativ la ultima 

 ecuaţiune : 



Condiţiunea necesară şi suficientă pentru ca o ecuaţiune a 

 lui Fredholm cu membrul al doilea f(x) să fie rezolubilă pentru 

 o valoare caracteristică X — X,, este ca f(x) să fie ortogonal tu- 

 turor soluţiunilor fundamentale ale ecuaţiunii asociate, rela- 

 tive la X,. 



Aceasta eşti teorema a treia a d-lui Fredholm. 



/Va urma/. 



