Jahresbericht der Schles. Gesellschaft für vaterl. Cultur. 



zu dem Quadrat ihres kleinsten Abstandes vom Punkte u = unendlich 

 abnimmt bei wachsenden Werten von n; daß endlich die Kurven §t n von 

 allen Stellen w um mehr als ein gewisses von n unabhängiges Stück ent- 

 fernt bleiben, so genügen die geforderten Eigenschaften um nachzuweisen, 

 daß die Funktion <pu bis auf eine additive Konstante mit pu identisch 

 sein muß. 



In der Tat ist ja die Differenz fu = (pu — ■ pu offenbar in der 

 ganzen Ebene der komplexen Größe u regulär, also eine ganze Funktion 

 von u. Die Funktion pu erfüllt aber auf den Kurven S?„ ebenfalls eine 

 Ungleichung von der Form 



1 <P U i < c '-> 



in der C eine von n unabhängige positive Konstante bedeutet; denn die 

 Werte, die die Funktion pu auf einer Kurve %,, annimmt, werden auch 

 im Innern irgend eines beliebig herausgegriffenen Periodenparallelogramms 

 angenommen, und zwar in Punkten, die den Stellen w nicht näher liegen 

 als die Kurven S überhaupt, woraus das Behauptete unmittelbar folgt, da 

 die Funktion pu ja nur an den Stellen w unendlich wird. 



Aus den letzten beiden Ungleichungen ergibt sich aber eine weitere 

 für alle Kurven $„: 



| fu | < c + c. 



Für jede ganze Funktion fu besteht nun, wenn der Punkt z im Innern 

 der Kurve $„ liegt, die Gleichung 



1 P fu . du 



2 7t i J % — z' 



(1) 



f* 



aus ihr folgt sofort 

 (2) 



f'z 1 f fU 



2 ni J (u - 



. du 



zY 



Beschränkt man ferner die Größe z auf irgend ein endliches Gebiet ©, 

 so liegt die Größe 



fu 



0-3" 



auf der Kurve §t n unter einer von « unabhängigen positiven Konstanten G" 

 sobald n hinreichend groß geworden ist; ist daher B u der kleinste Abstand 

 der Kurve $„ vom Punkte u = und L n ihre Länge, so gilt die Un- 

 gleichung 



fu . du 



f 



W'O-t) 



C"L n 



Rn 2 



f*\ 



C"L H 



2 n M n *' 



