V. Abteilung'. Mathematische Sektion. 3 



und da wir die Gleichung 



lim Ln _ , 

 n = oo R n 2 = 



voraussetzen, liegt die Größe \f z\ im ganzen Gebiet ® unter einer beliebig 

 kleinen Schranke; das Integral (2) konvergiert in diesem Gebiet gleich- 

 mäßig gegen die Grenze Null bei wachsenden Werten von n. Daraus 

 folgt die Identität 



f'z = 

 und die Gleichung 



fit = (pit — ipu = const. 

 ist bewiesen, wir wiederholen es, ohne daß die Funktion y> u als periodisch 

 vorausgesetzt worden wäre. 



2. Die Integrale (1) und (2) geben noch eine interessante 

 Folgerung, wenn man sie auf die Funktion pu selbst anwendet und mit 

 ihrem oben bezeichneten Verhalten auf den Kurven Jt, ( in Verbindung 

 bringt. 



Sei fu eine beliebige meromorphc Funktion, die in der Umgebung 

 eines Pols w in der Form 



G (dh;) + *" 



dargestellt werden kann, wobei ipu eine an der Stelle w reguläre Funktion 

 von h und 6r ein Polynom bedeutet, das mit seinem Argument zugleich 

 verschwindet. Dann ist, was Cauchy bemerkt und vielfach benutzt hat, 

 das Residuum der meromorphen Funktion fui(u — z) an der Stelle n = w 

 die Größe 



ff ( ! \ 



\Z — irj 



Dies folgt leicht aus der Identität 



11 111 



II Z (ll "')'' Z -- 10 II — W (" — "1 



Z IC 



(H ) 1: - W I. - W) a : (Z — W) 3 "•" ' ' 'f' 



; leren rechter Seite die Potenz (u — w) ' rail dem Faktor — (z — w) 



behaftet ist; wendet man diese Bemerkung auf ji-«.les Glied des Ausdrucks 



— G ( ' )' 



it — z \H — ir ) 



so ergibt sich sofort der angegebene Ausdruck des gesuchten Residuums. 



An der Stelle u = z hat die Punktion fuj{u z) offenbar das 

 Residuum fz. 



Da nun das durch 2ni dividierte Integral einer meromorphen Funktion, 

 genommen über eine geschlossene Integrationsbahn, der Summe der 



