4 Jahresbericht der Schles. Gesellschaft für vaterl. Cultur. 



Residuen aller im Innern dieser Kurve gelegenen Pole gleich ist, so folgt, 

 wenn der Punkt z im Innern der Kurve §!„ liegt, 



T^iJ ^T7 = f* — 2 a Qt^tü))' 



wobei rechts über alle Pole w zu summieren ist, die im Innern der 

 Kurve S« liegen; hieraus folgt weiter 



2niJ (u — zY ' ** dz \z — v:)' 



wobei rechts ebenso zu summieren ist wie vorher. 



Beschränkt man nun wieder die Variable z auf ein Gebiet © und 

 zeigt sich, daß das Integral auf der linken Seite mit wachsenden Werten 

 von « gleichmäßig bezüglich der Werte von z gegen Null konvergiert, so 

 erhalten wir die im Gebiet % gleichmäßig konvergente Entwicklung 



Jmd az \z — ws 



wobei rechts über alle Pole w zu summieren ist. Das bezeichnete Ver- 

 halten zeigt das Integral jedenfalls, wenn fu = <pu gesetzt wird; denn 

 der absolute Wert dieser Funktion bleibt auf den Kurven $„ unter einer 

 von n unabhängigen Grenze, hat also die Eigenschaften, die oben von der 

 ganzen Funktion fu nachgewiesen waren. 

 Da nun 



° (— ) = (— y 



\z — w/ \z — w/ 



zu setzen ist, so ist die Gleichung 



bewiesen und ihre rechte Seite konvergiert in jedem Gebiet gleichmäßig, 

 das keiner Größe w beliebig nahe kommt. 



Bezeichnet man durch einen Akzent am Summenzeichen, daß die 

 Stelle w = weggelassen werden soll, so folgt 



— 2 _,, / 1 \ 3 



und die Summe rechts konvergiert gleichmäßig, wenn das Gebiet & nur 

 keiner von Null verschiedenen Größe w beliebig nahe kommt. Gilt dies 

 auch von einem sonst beliebigen Integrationsweg, der die Stellen und z 

 verbindet, so kann daher in der Gleichung 



z z 



f(y* + |s) du = P m - 1, = - 2/2' ( l7 ^)' du 

 



gliedweise integriert werden, und man findet die bekannte Formel 



,. - ^ + r [(.-±-2 - a 



