V. Abteilung. Mathematische Sektion. 



II. Die Besselschen Funktionen bei Euler und die angenäherte 

 Auflösung transzendenter Gleichungen. 



Die Besselschen Funktionen kommen schon bei Euler an mehreren 

 Stellen vor und werden von ihm in derselben Weise eingeführt und 

 benutzt, wie es in neuerer Zeit bei verschiedenen Aufgaben der mathe- 

 matischen Physik zu geschehen pflegt. Diese Tatsache wird vonFourier, 

 Poisson und Bessel so wenig wie von Heine und Todhunter er- 

 wähnt, wo es sich um Geschichte und Literatur der Besselschen Funktionen 

 bandelt: es dürfte daher angebracht sein, auf einige hierher gehörige Ab- 

 handlungen von Euler hinzuweisen. Im Anschluß an eine von ihnen 

 erhält man eine Methode, die Nullstellen einer transzendenten ganzen 

 Funktion von ziemlich allgemeiner Natur annähernd zu bestimmen. 



1. Im X.Bande der Novi Commentarii academiae Petropolitanae, der 

 im Jahre 1766 erschienen ist, findet sich die Abhandlung de motu vibratorio 

 lyinpanorum; in ihr wird die partielle Differentialgleichung der schwingen- 

 den Membran aufgestellt, die Unbekannte als Produkt zweier Funktionen 

 von je einer Variabein angesetzt und für die eine dieser Funktionen die 

 Differentialgleichung 



erhalten, in welcher ß eine Konstante bedeutet. Als partikuläres Integral 

 derselben erhält Euler die Reihe 



* - mr*) + ».4(»/»+2)w+ d - • •)= - ß n m ß <*>■ 



Für das allgemeine Integral gibt er den Ausdruck 

 &P (,l (/' sin ^ — Q cos d) + SC (P cos & + q sin »)), 

 in welchem .1 und ?( Konstante sind und gesetzt ist 



[iß + 3) &* (2/8+3) (2/8 + 5) (2/8 + 7) ** 



3 .13 1 3\ 3. 



2 • (2/9 + 2) 2-3-4 (2/9 + 2) ('2ß + 3) (2ß + 4) 



(2/?+») (2 f l 5) (2/8 + 7) (2/9 + 9) (2/9 + 11) 

 2-3-4-5.6(2/? +2) (2 | (2/S + 4t) (2/9 H 5) (2/9 -| 6) 



-- 9 - W+ 3 > v^+5) , 



2-3 (2/9+2) (2,9+3) 7 



(2/9 + 3) (2/9 + 5) (2,9 + 7) (2/9 + 9) _ 



"•" 2-3-4-5 (2/9 + 2) (2/8 + 3) (2,8 + 4) (20 + 5) v 



Hierbei wird freilich übersehen, daß die Identität 



P sin Ö — Q cos # = 

 besteht, der Faktor der Konstante .1 also verschwindet; immerhin ergeben 

 sieb aus Eulers Entwicklung die von ihm selbst nicht bemerkten eleganten 

 Formeln 



