(i Jahresbericht der Sehles. Gesellschaft für vaterl. Cultur. 



P = cos & ^ - - 2 (2/S + 2) -- 2-4 (2/? +2) (25 + 4) " " / 



Q : - sin # (^1 - - 2 (2j5 _j_ 2 j -- 2-4 (2,5 + 2) (25 + 4) / 



oder in moderner Bezeichnung 



P = (|y n 0?) • J {&) • cos #, 



Q = Q) ß n OS) • J (■») • sin #. 



Die Reihen P und Q sind offenbar beständig konvergent. 



2. Die Besselsche Differentialgleichung ist ein spezieller Fall einer 

 Gleichung, welche Euler im zweiten Bande der Integralrechnung be- 

 handelt; in den §§ 967 ff. gibt er für das allgemeine Integral der Gleichung 



x * ( a + hx n) p. + x (c _|_ exn) pL + (/ + ?as » )2/ = o, 



in welcher die ersten Buchstaben des Alphabets Konstante bedeuten, Reihen, 

 welche Potenzen und Logarithmen von x enthalten. Das Auftreten logarith- 

 mischer Glieder erkennt er als bedingt dadurch, daß die Wurzeln einer 

 gewissen Gleichung, die wir jetzt die zum Punkte x = gehörende 

 determinierende Fundamentalgleichung nennen, gleich oder um eine ganze 

 Zahl unterschieden sind. 



In § 935 desselben Bandes wird die Gleichung integriert, die durch die 



Größe p , r — 



/ J (2 Vx) dx 



erfüllt wird. 



3. Eingehender verweilen wir bei der schönen Abhandlung de 

 oscillationibus minimis funis libere suspensi, welche im ersten Teile des 

 V. Bandes der Acta academiae Petropolitanae (pro anno 1781) gedruckt 

 und im Jahre 1784 erschienen ist. In ihr gibt Euler für die Schwin- 

 gungen eines frei herabhängenden, homogenen, schweren Fadens die 

 Differentialgleichung 



(1) ^ = g (x ^ + B J?\ 



1 ■ } dt* H 3:c 2 h dx) 



in welcher x die vertikale, vom unteren Ende des Fadens gerechnete, y die 



horizontale Koordinate eines Punktes des Fadens, g die Konstante der 



Schwerkraft und t die Zeit bedeutet. Um nun eine Bewegung zu erhalten, 



bei welcher jeder Punkt schwingt wie ein einfaches Pendel von der Länge /', 



also eine einfache harmonische Bewegung, setzt Euler, indem er durch £ 



eine Konstante bezeichnet. 



y 



= P^.sin (c + t]fiy 



und erhält dann aus der Gleichung (1) 



— f-Fx = xF"x -j- F' ' x\ 



