8 Jahresbericht der Schles. Gesellschaft für vaterl. Cultur. 



in Angriff und berechnet ihre drei kleinsten Wurzeln nach einer Methode, 

 die sich mit den heutigen Hilfsmitteln leicht völlig sicher begründen und 

 verallgemeinern läßt. Sind die Wurzeln jener Gleichung etwa in geänderter 

 Bezeichnung 



a v = — , (v = 1, 2, . . .) 



und bei wachsenden Werten von v nach der Größe geordnet, so wird die 

 Gleichung 



J (2 Vu) — (1 — a ± u) (1 — a. 2 «) . . . 

 angesetzt und logarithmisch differenziert: 



_ ä\ e J (2VH) = « x a, 



du 1 — «j u ~ T ~ 1 — ct 2 u 



Entwickelt man die linksstehende Größe nach Potenzen von u, so 

 erhält man 



die Koeffizienten Av können als bekannt angesehen werden, da sie sich aus 

 der Identität 

 d 

 dt 



(Ä - - Ä 1 u + • • • ) 

 leicht errechnen lassen. Die Gleichung (6) ergibt dann, da man auch rechts 

 nach Potenzen von u entwickeln kann, durch Vergleichung der Koeffizienten 

 gleich hoher Potenzen allgemein 



(8) A„ = <v+i + «,»+■! H 



Diese an sich unhaltbare Betrachtung bedarf nur folgender Ergänzung. 

 Aus den klassischen Untersuchungen über die reellen Integrale linearer 

 Differentialgleichungen, welche Sturm im ersten Bande des Liouvilleschen 

 Journals veröffentlicht hat, ist zu schließen, daß die Gleichung (5) keine 

 komplexen Wurzeln besitzt, und daß eine arithmetische Reihe von posi- 

 tiven Gliedern \, b. 2 , ... angegeben werden kann, für welche die Um- 

 gleichung 



(9) V > a v> ^_! 2 



besteht, sobald v eine gewissen Grenze überschritten hat. Hieraus folgt, 

 daß die Reihe 2 j av | konvergiert, und weiter nach einem Satze von 

 Weierstraß, daß das Produkt 



v= 1 



für ein beliebiges endliches Gebiet komplexer Werte von u gleichmäßig 

 konvergiert, endlich daß eine Gleichung 



J (2 Vu) = fu 



du V 18^ 1 2. 2 S ) y Ja -T p. 2 2 ) 



& u 



e 



