10 Jahresbericht der Schles. Gesellschaft für vaterl. Cultur. 



Eine weitere Näherungsformel ergibt sich aus der Gleichung (11), 

 indem man für sie schreibt 



oo , Ä , j 

 A, = «,'■' + ! 1 — B k a-*-i +2(^) " ; 



zieht man die (k -j- l) te Wurzel, so ergibt sich nach (13) und (14) 



fc + i — i 



(16) a x = lim Väjc, a t = lim A 1: k + 1 - 



k = co A" = co 



Aus diesen und den Gleichungen (15), welche Euler aus der un- 

 richtigen G-leichung (8) ableitet, berechnet er 



«! = 1,445795, 

 was mit dem von Bourget in den Annales de l'ecole normale vom Jahre 

 1866 angegebenen Wert 



2 f^ = 2,404 = q (« 

 völlig übereinstimmt. 



Die weiteren Wurzeln a 2 , a 3 , • • ■ können ebenfalls aus den Gleichungen 

 (11) approximativ berechnet werden, indem man diese in folgende Form 

 setzt 



00 



A b - < + i = -B k +S« v l ' + 1 ; 



da die Größen a v in absteigender Reihe geordnet sind, so ergibt sich 

 hieraus, ganz analog den Formeln (15) und (16) 



i ■_ 



k=O0 A k "- «1* + - 



A lc , ! a k + 2 T* 



Co = lim -'-+ i-p-i — = lim JMs — « 1 S + 1 . 



7. A 7. ff. * T 1 7 



Ebenso erhält man allgemein, wenn a 17 a. 2 , ... «,, als bekannt an- 

 gesehen werden, 



« 



n + 1 



lim 



( 17) " ■*■ J 7 , =0D ^ - < + » - « 2 * + * « n * + * 



*+J 



= lim VA* — 04* + 1 — « 2 fc + ! «»''• + *. 



fc=cc 



Diese Formeln liefern bei Euler die Werte 



a 2 = 7,6658, « 3 = 18,63, 

 welche er selbst für weniger genau als den für n, erhaltenen erklärt; in 

 der Tat ergeben sie 



2 V~<r 2 = 5,537 2 Kög" = 8,534, 

 während diese Werte nach Bourget sein müssen 



q (2) = 5,520 c fo ' 3 ) = 8,654. 

 5. Daß die Betrachtungen, welche zum strengen Beweis der Euler- 

 schen Formeln führten, sehr allgemeiner Natur sind, liegt auf der Hand; 

 sie sind weder an die Ungleichungen (9) gebunden, noch an die Realität 

 der Größen «„, sondern führen ohne wesentliche Modifikation zu folgendem 

 Satze: 



