V. Abteilung. Mathematische Sektion. 



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Eine ganze transzendente Funktion F x. welche für x = 

 nicht verschwindet, sei durch ihre Entwicklung nach Potenzen 

 v 1 1 n x gegeben; von ihren Nullstellen, welche nach wachsen- 

 den absoluten Beträgen geordnet durch 



1 J_ 



" «l' »2 1 



bezeichnet seien, wisse man, daß keine zwei denselben ab- 

 soluten Betrag haben und daß die Reihe 



I « f r i + l«* r M 



konvergiert, wenn r eine gewisse positive ganze Zahl ist. 

 Definiert man dann die Größen Av durch die Gleichung 

 F' x 



y^r = A> + A i x + A * x ' H > 



so gelten diu Gleichungen (15), (16), (17), und aus ihnen können 

 die unbekannten Größen a v und a v mit beliebiger Annäherung 

 berechnet werden. 



Denn nach dem Satze von Weierstraß über die Zerlegung der ganzen 

 transzendenten Funktionen in Primfaktoren kann man bei den eingeführten 



Voraussetzungen setzen 



* v x + ±ajaß+. 



■ — i 



%x = e® x I[(l — a v x)e 



v= 1 



wobei @ wiederum eine ganze transzendente Funktion ist, und das Produkt 

 für beliebig große Gebiete der Variabein x gleichmäßig konvergiert. 

 Differenziert man nun logarithmisch, so ergibt sich 



und die Reihe rechts konvergiert in jedem Gebiet gleichmäßig, welches 

 keinen der Werte a v enthält, so daß man die gleichen Potenzen von x 

 aus allen Gliedern zusammenfassen kann, und als Koeffizienten von i . 

 sobald k ^ r, erhält 



B,. — £ «„* + ', 



1 



wenn wiederum gesetzt wird 



@\ 



= £ B; I 



k = 



Aus der Definition der Grüßen .1,. ergeben sich dann auch hier die 

 Gleichungen (11). Da ferner allgemein 



I a v+ 1 I < a v I- 

 so ist für jeden ganzzahligen positiven Wert von k 



er'+fc) 



fc;+ r 



+ 





+ 



I 



