12 Jahresbericht der Schles. Gesellschaft für vaterl. Cultur. 



und hieraus folgt die Ungleichung (14). Aus dieser und den Re- 

 lationen (11) erschließt man genau wie in dem obigen speziellen Falle die 

 Gleichungen (15), (16) und (17), womit unser Satz bewiesen ist. Diese 

 Formeln geben, da die Größen Av leicht schrittweise berechnet werden 

 können, die Möglichkeit, die transzendente Gleichung 



%x = 

 mit beliebiger Genauigkeit vollständig aufzulösen. 



Ist gf x ein Polynom, so reduziert sich unsere Methode auf die be- 

 kannte von Daniel Bernoulli herrührende, welche neuerdings meist als 

 die Graeffesche bezeichnet wird. 



6. Wir wenden die Eulersche Methode noch auf die Gleichung 



(18) 1 -f cos z Sof z = 



an, die in der Theorie der transversal schwingenden Stäbe vorkommt. Die 



linke Seite dieser Gleichung ist offenbar eine ganze Funktion von x = 2 4 *, 



bezeichnet man sie durch 2$x, so sieht man leicht, daß die Gleichung 



gas = 

 nur positive Wurzeln a n a 2 , ... besitzt, die, wenn man zu immer 

 größeren übergeht, annähernd wie die vierten Potenzen der ganzen Zahlen 

 fortschreiten, so daß die Reihe 



1 



V 



= V 



konvergiert. Nun gelten die Entwicklungen 



(19) 

 man hat also 



12 ' 12 2 -35 



V — — _i_ ~ 2x _ 



tf ~ 12 + 1-2». 85 " 



g'a; _ J_ 33 a; 



%lc~ ' 12 ~ " 12 2 -35 



] — P 



■A-1 T~7T« -A-v 



1 " 12' " 2 — lä».3Ö 



zu setzen und erhält als erste Annäherung 



«i = T' rtl = J- = 12 ' 7272 

 Hieraus ergibt sich 



4 



V^ = 1,88, 

 was mit dem genauen Wert 1,8751 schon leidlich übereinstimmt. 



Lord R'ayleigh stellt in § 174 seiner Theorie des Schalles Be- 

 trachtungen über die Wurzeln der Gleichung (18) und die Gleichung (19} 

 an, die der Eulerschen Methode verwandt sind, sich aber in etwas anderer 



