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Mon but nétant point de la lever, mais seulement 

 de la signaler , je pourrais terminer ici ces observa- 

 tions. Cependant, elles auront plus de valeur, si je 

 parviens à une preuve plus exacte. C'est ce qui m'en- 

 gage à ajouter quelques développements. 



La démonstration dont j e fais choix est indirecte : 

 elle est , en grande partie , empruntée à Lagrange , mais 

 je ferai à la méthode suivie par ce savant illustre de 

 légers changeraens qui la rendront plus conforme aux 

 idées émises dans cette note. On sait que Lagrange ex- 

 posait les règles du calcul différentiel sans recourir aux 

 limites ; mais on a maintenant renoncé à la marche 

 qu'il avait tracée. Il faut bien, en effet, revenir tôt 

 ou tard aux limites lorsqu'on veut établir les principes 

 de l'analyse infinitésimale, application principale des 

 règles du calcul différentiel. 



Rien de plus aisé que d'obtenir algébriquement une 

 série équivalente à la fonction a' , et ordonnée sui- 

 vant les puissances croissantes de la variable. On pose: 



a^ =l-+-A.r-+-Bx°-HCj'-+-Da-''-+-Ex*-t-p<c. 



On met 1 pour premier terme, parce que, x deve- 

 nant , et ici o est pris dans un sens absolu , le pre- 

 mier membre se réduit à l'unité. 



Si l'on remplace x successsivement par x et par x-\-y, 

 on a : 



o^ =l-+-Ay-HEj/«-+-Cy'-+-Dj/*-4-Ey»-+- etc. 



Mais a ' = a a , quels que soient x et y . On doit 

 donc avoir : 



