V. Abteilung. Mathematische Sektion. 55 



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wo g (x, c x ) eine ganze rationale Funktion der beiden Variabein x und c x 

 ist. Ist deren Grad gleich 1, so ist die Gleichung elementar integrierbar 

 und zwar ganz einfach durch Exponential- oder Hyperbelfunktionen. 

 Diesem Fall entspricht chemisch die unimolekulare Reaktion 



A +=± B. 



Ist dagegen der Grad von g (x, c t ) größer als 1, so ist die Integration 

 weder durch die elementaren Transzendenten und Quadraturen, noch durch 

 die klassischen höheren Transzendenten zu erbringen, wie aus den wichtigen 

 neueren Untersuchungen von P. Painleve 1 ) über die algebraischen 

 Differentialgleichungen 2. Ordnung hervorgeht. Dieser Fall tritt bei den 

 bimolekularen und allen höhermolekularen Reaktionen ein. 



Ist die Reaktion insbesondere bimolekular, also in der allgemeinsten 

 Form : 



A + B +=± C + D, 

 so lautet die zugehörige Differentialgleichung: 



d 2 c 



(9) -jt^ =Lc x {c x —a 2 —\x)—L' . (— c x + a\ -f b\x) • (— c x -f a 2 + b 2 x) ; 



sie hat also, falls man statt c x hier y schreibt, die Form : 



(10) Ix* = ^ ~^~ (C ° + c i *) ' ^ + d ° + d i x + d * x2 > 

 worin b, c , c lt d , d x , d 2 Konstanten bedeuten. 



Hier liegt der einfachste Fall vor, in dem eine Integration im elemen- 

 taren Sinne unmöglich ist. Doch läßt sich die Lösung unter einer 

 bestimmten Bedingung docli erbringen, falls man eine neue von Painleve 2 ) 

 1900 eingeführte Transzendente verwendet. 



Der eben erwähnte Forscher versuchte vor allem zum Zwecke der 

 Integration von Differentialgleichungen systematisch neue eindeutige 

 Funktionen aufzufinden, die von den klassischen höheren Transzendenten 

 wesentlich verschieden wären. Da die algebraischen Differentialgleichungen 

 1. Ordnung nach einem Satze von Fuchs und Poincare keine neuen 

 eindeutigen Funktionen liefern können, so ging Painleve zu den Differential- 

 gleichungen 2. und höherer Ordnung über und untersuchte insbesondere 

 zuerst alle~ Differentialgleichungen 2. Ordnung von der Form: 



y " = E (y, y, x), 

 wo R rational in y ', algebraisch in y und analytisch in x ist. Hierbei 

 fand er 5 kanonische Differentialgleichungen 2. Ordnung, deren Integrale 

 wesentlich neue eindeutige Funktionen darstellen 3 ): 



!) Acta Mathematica 25, S. .1-85. 1902. 



2) Bulletin de la Societe mathematique de France 28, S. 201—261. 1900: 

 ferner Acta Mathematica, 1. c. 



3 ) Acta Mathematica, 1. c. 



