58 Jahresbericht der Schles. Gesellschaft für vaterl. Cultur. 



können, ist die Berechnung der Painleveschen Funkiion Y{X) erforderlich. 

 Dieselbe wird in vollkommener Art durch die von Painleve mit Hilfe 

 der Funktionentheorie nachgewiesene Tatsache ermöglicht, daß Y(X) sich 

 in folgender einfachen Weise mittels einer ganzen transzendenten Funktion 

 a (X) darstellen läßt: 



d 2 loa a (X) a' 2 — aa" 

 119) 1= h^=^^- 



Dabei gehorcht die ebenfalls wesentlich neue Funktion a (X) folgendem 

 Gleichungssystem: 



a' 



(20) * a ' 



oder der hiermit äquivalenten Differentialgleichung 3. Ordnung und 2. Grades: 

 i aV" 2 — %a'(3oo"— 2a' 2 ;<j'"+4aa" 3 



Als ganze Funktion ist nun a (X) in eine beständig konvergente nach 

 Potenzen von (X — X ) fortschreitende Reihe entwickelbar, deren 

 Koeffizienten aus (21) und den sukzessiven Ableitungen dieser Gleichung 

 berechenbar sind. Indem dann Y (X) selbst gemäß (19) der Quotient zweier 

 solcher beständig konvergenter Potenzreihen ist, hat man für diese 

 Transzendente eine für jedes X gültige Darstellung; Y (X) ist eine 

 meromorphe Funktion, die im Endlichen unendlich viele Pole zweiter 

 Ordnung besitzt. 



Die Funktionen £ und a haben offenbar für Y (X) eine ähnliche Be- 

 deutung wie die gleich bezeichneten Funktionen in der Theorie der 

 elliptischen Funktionen für p (u). 



Die wirkliche Ausführung der hier angedeuteten Rechnungen, die sich 

 bei Painleve nicht findet, wird in kurzem an anderer Stelle 1 ) gegeben 

 werden. Ebendort wird auch ein Beispiel für die vollständige mathematische 

 Bearbeitung einer bimolekularen Reaktion unter Berücksichtigung bestimmter 

 Grenzbedingungen mit numerischer Durchführung behandelt werden. 



Zum Schluß sei noch bemerkt, daß die Einzeleigenschaften der hier 

 angewandten gebrochenen transzendenten Funktion noch wenig untersucht 

 sind. Nur folgenden Satz hat Painleve, und zwar ohne Beweis, angegeben 2 ): 



,,Wenn y (x) ein partikuläres Integral von y" =■ 6y 2 -\-x ist, so besitzt 

 die Gleichung y (x) = A unendlich viele Wurzeln, welches auch der 

 (endliche oder unendliche) Wert von A ist." 



!) In der Zeitschrift für Mathematik und Physik. 

 3 ) Bulletin, 1. c, S. 252. 



