V. Abteilung. Mathematische Sektion. 63 



wenn v die Reihe der ganzen Zahlen durchläuft. Zu der so erhaltenen 

 Eigenfunktion sin vtcx ist nun noch ein Faktor C zur „Normierung" hinzu- 

 zufügen, derart, daß das Integral 

 1 

 C 2 sin 2 yrcx • dx = 1 wird. 



/« 



Man bestimmt daraus: 



C = K 2 

 also hat man die Eigenwerte 



X v = V 2 7t 2 , 



(24) die normierten Eigenfunktionen: ^ v (x) = V2 sin vtt;x. 



Das sind, wie man sich leicht überzeugt, die nämlichen Werte, die man 

 auch für die ungedämpften Saitenschwingungen erhält. Dagegen sind 

 die Eigenfrequenzen n v andere geworden; denn es ist: 



A v = v 2 . 2 = ^tW also 

 4p P 



(24a) ^ = ¥ P f 4 PP v ^ 2 - k2 ' 



während für verschwindende Dämpfung (k = 0) sich vorher ergeben 



mußte: n v = v u V — . Für kleine Werte von k ist die Änderung der 



Schwingungsdauer übrigens, wie ein Blick auf (24a) ergibt, geringfügig, 

 so daß in erster Annäherung auch die Eigenperiode als ungeändert 

 betrachtet werden kann. 



Als allgemeines Integral von (21) erhalten wir also: 



(25) 7] = e 2 P ^ cp v (£) A v cos n v t + B v sin n v t 



v 



Gehen wir zu den erzwungenen Schwingungen über, so lautet die 

 Differentialgleichung : 



Hier zerlegen wir wieder Y] in die Summe Yj x -j- Y] 2 , wo, wie vorhin, 

 7] t der Gleichung (21) genügen soll, deren Lösung wir in (25) vor uns 

 haben; dagegen gehorche Y] 2 der Gleichung (26). 



Wir setzen an: 

 - 2 _, . ( X (x,t) = U (x) . cos nt, 



( Yj 2 (x,t) = t]; (x) . cos nt -J- ^ (x) . sin nt, 

 tragen diese Werte in Gleichung (26) ein, und setzen die Koeffizienten 

 von sinnt und cos nt einzeln gleich Null. Dann erhält man folgende 

 Gleichungen: 



