64 Jahresbericht des Schles. Gesellschaft für vaterl. Cultur. 



(20) ^ c k n k . t . sin n k t, 



d. h. ein für alle endlichen Werte von c gleichfalls endlicher 

 Wert, dessen Betrag mit wachsendem t wächst. 



Man erkennt also, daß für alle endlichen Werte von t die 

 Lösung (19) ihren Sinn beibehält. Dies ist physikalisch leicht zu erklären. 

 Denn die Schwingungen der Saite werden ja, auch wenn einer ihrer 

 Eigentöne mit der Periode der äußeren Kraft coincidiert, nicht sofort 

 unendlich groß, sondern es erfolgt ein allmähliches, immer stärker 

 werdendes Anschwingen der Saite. Und zwar ist aus (20) wegen 

 des Faktors t ersichtlich, daß die Amplituden der Schwingung in arithme- 

 tischer Progression wachsen. Es ist klar, daß man dieses Anschwingen 

 als Grenzfall der vorher erwähnten Schwebungen auffassen kann. 



Für t = OO natürlich versagt die Lösung. Dies liegt daran, daß wir 

 einen wesentlichen Faktor, nämlich die stets vorhandene Dämpfung, 

 nicht berücksichtigt haben. Auch dies läßt sich leicht berücksichtigen,. 

 wie wir noch kurz zeigen wollen. Analytisch besteht der Unterschied 

 nur darin, daß der Parameter X der inhomogenen Integralgleichung nun- 

 mehr komplex wird. 



Wir wollen also nunmehr die gedämpfte freischwingende Saite 

 untersuchen. Die Differentialgleichung lautet: 



dazu treten die alten Randbedingungen: Yjj - 1 = 0. 



Durch den Ansatz 



k_ . 



(22) Y] = e 2p e mt cp (x) folgt aus (21): 



k . 



2p ^ 



1 2 



cp (X) + k 



k 



2p 



cp (x) — p cp" (x) = 0, 



oder 



k 2 4- 4 p 2 n 2 

 (23) cp" (x) -f- X cp (x) = 0, wobei X = gesetzt ist. 



Daraus ergibt sich wieder in Verbindung mit der Differentialgleichung des 

 Kerns die homogene Integralgleichung: 



i 



<p v (£) =Kj K ( x ^) cp v (x) dx. 



o 



Es wird zweckmäßig sein, hier die Eigenwerte und Eigenfunktionen zu 

 bestimmen. Es ist bekannt, daß die Integrale von (23) 



KX.x 



cos 



sin 



sind, von denen wegen der Grenzbedingung cp (0) = nur der Sinus in 

 Betracht kommt. Die Bedingung cp (1) = fordert dann, daß Vx^= VTC, 



