V. Abteilung. Mathematische Sektion. 65 



Mit Einführung dieser Werte wird (15) zu: 



l,oo 



(17) 7] = ^ v v(S) 



C v X 



( b v -|- -y-^ — y J f cos nt — cos n v t J -j- 



/ F l (x) v v (x) dx . cos n v t -j- / F 2 (x) v v (x) dx . sin n v t 



v 



Gleichung (17) stellt das allgemeine Integral der Differentialgleichung (9) 

 dar. Zur weiteren Diskussion beschränken wir uns auf den einfachen 

 Fall, daß zur Zeit t = die Saite gerade gestreckt und in Ruhe 

 sei, d. h. 



Fi © = P| (ö = 0. 

 Dann erhalten wir aus (17): 



1 ,00 , c v X x , N 



(18) Y) = ^ v v (?) (^v + V=Tj ( C0S nt — C0S n v0 



V 



n 2 n 2 



Hiervon wollen wir noch für X und X. die Werte p resp. p — ~ 



P P 



einsetzen, wodurch folgt: 



( 1 9) " v° v v (g) b v (n v 2 -n 2 ) + c v n») (cos nt _ cog „^ 



^ n 2 — n 2 



v » 



Wir betrachten weiter den Fall, daß n in unmittelbarer Nähe eines 



der Werte n v liege, der n k heißen möge. Dann tritt in der Summe (19) 



folgendes Glied auf: 



bk (n k 2 — n-) -f c k n 2 



Vk© 



cos nt — cos n k t 



Die physikalische Bedeutung desselben ist folgende: Wegen der an- 

 nähernden Gleichheit von n und n k ist zunächst für kleine Werte von t 

 die Differenz der Cosinusse unmerklich klein; sie wächst mit wachsendem t 7 

 passiert ein Maximum, sinkt wieder zu kleinen Werten herab, passiert ein 



Minimum u. s. fort, und zwar treten in der Sekunde — - solcher 



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Schwankungen auf. Man hat hier die analytische Formulierung des aus 

 der Akustik wohlbekannten Phänomens der Schwebungen vor sich. 



Die Zahl der Schwebüngen pro Sekunde wird immer geringer, je 

 näher n an n^ heranrückt. Lassen wir schließlich n = n k werden, so 



erhält das betreffende Glied die unbestimmte Form — , infolge des Faktors 



cos nt — cos n k t 



n k ' — n- 

 Bestimmt man in bekannter Weise den Wert dieses Gliedes, indem 

 man nach n differenziert und dann n = n^ setzt, so folgt: 



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