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Jahresbericht der Schles. Gesellschaft für vaterl. Cultur. 



V. 



Wir wenden die letzten Formeln auf den Fall eines longitudinal 

 schwingenden homogenen Stabes von der Länge und Masse Eins an, dessen 

 Enden frei sind und der demgemäß in seiner Längsrichtung verschiebbar ist. 

 Bewegungsgleichungen und Grenzbedingungen sind folgende: 



« = 0,1 



= 0. 



(p x = 1 , u = % 



q n (fnX : 



d 2 u d 2 u du 



Öt* ^ a dx* ' dx 

 Diese Forderungen werden erfüllt, wenn man u konstant setzt, was 

 offenbar eine longitudinale Verschiebung des unverzerrten Stabes bedeutet. 

 Allgemein kann man daher setzen 



2 



n > 



sodann findet man aus der Bewegungsgleicliung, indem man sie auf jedes 

 einzelne Glied der letzten Summe anwendet, 

 1 d 2 q n a 2 cl 2 (p n x 



Qri ut WnX "-X 



und die Grenzbedingungen ergeben, daß für n > 



c n = 7i 2 a 2 n 2 , (p n x = V 2 cos n nx 

 zu setzen ist. 



Nun ist bei der zugrunde gelegten Form der Bewegungsgleichung 



a 2 ^- die in der Richtung wachsender x wirkende Spannung; wenn daher 



in einem Punkte x = 5 eine Einzelkraft P wirkt, so muß dieselbe mit den 

 auf beiden Seiten dieser Stelle angestrebten Grenzwerten der Spannung im 

 Gleichgewicht sein: 



a e 



du 

 dx 



1 + 



oder für P= 1 



du 

 dx 



1-0 



f-o 



+ P=0, 



^ + o 



Wirkt ferner in irgend einem Element dx eine longitudinale Kraft 

 Y dx, so muß sie im Gleichgewicht stehen mit der Resultante der in den 

 Enden des Elements auf dieses wirkenden Spannungen, also 



Jü — LUC r\ p 



Y dx -|- a 2 



du 

 dx 



0, 



Y + a< 



dx' 



0. 



Sucht man also nach dem Ansatz des § IV die Gleichgewichtstigur 

 des Stabes unter der Wirkung einer an der Stelle § angebrachten Kraft 

 von der Intensität Eins und einer im Element dx angebrachten Kraft 



Y dx = — q> x '(p "B'dx= — dx, 

 so ist die zugehörige Verrückung diejenige Lösung der Gleichung 



