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entbehrlich öurch eine kräftige Heranziehung der Funktionalgleichung 

 der C- Funktion: 



C (1-s) = x (s) . C (s) 



wobei in einem Streifen \o\ <C const. öer s = o -\- it Ebene 



\X (o + it) | c\Dt°— ? 



gilt. Außer dieser Tatsache wird nur noch die Konjugiertheit der 

 Funktionen C (s) bzw. % (s) herangezogen. 



Die folgenden Untersuchungen beschäftigen sich mit dem Werte- 

 vorrat der t-Funktion in der Nähe der kritischen Geraden. Die Riemann- 

 v. Mangoldt'sche Formel 



^o (T) = ^ T log T - 1+ 2 1 ° t S2:T T + (log T) 



die die Anzahl der Nullstellen im Gebiete 1 < t < T der s = er -f- it- 

 Ebene angibt, gilt auch, wie Landau (Ac. royale Belgique 1913) zeigte, 

 für die a-Stellen der ^-Funktion, nur daß bei a = 1 an die Stelle von 

 log 2 n die Größe log 4 <t tritt. Die Anzahl der a-Stellen im Gebiete 

 1 < t <. T bezeichnen wir entsprechend mit -^a ( T). Dagegen wollen 

 wir mit $l (T) bzw. 5ft a (T) die Anzahl der Null- bzw. a-Stellen im 



Gebiet 1 < t < T, — — ^ < a < « + ^ bezeichnen, wo ö irgend eine 



kleine feste positive Zahl bedeutet. Nun hat Carlson (Arkiv Bd. 15) 

 den folgenden wichtigen Satz bewiesen: 



Bezeichnet iV T (— -f- ö f T) die Anzahl der Nulistellen der ^-Funktion 

 im Gebiet 1 < t < T o > — -f- d, so ist 



N (| + <5,T) = 0tT i-4^ + o(D). 



Da wegen der Funktionalgleichung und der Konjugiertheit der C-Funktion 

 im Gebiete 1 < t < T, o <L — — d die gleiche Anzahl von Nullstellen 

 liegen, so folgt sofort 



$l ( T ) = J- T log T - 1+ j° 82r7 T + 0(T>-^ 2 + o <D). 



über üft a (T) ist dagegen noch nichts bekannt. Nur unter der Annahme 

 der Riemannschen Vermutung hat Landau (a. a. 0.) bewiesen, daß 



% (T) = ^ T log T + (T). 

 Landau hat in Wahrheit ein etwas schlechteres Restglied, weil er da- 



