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mals noch nicht öen von ihm und Bohr gefundenen Satz kannte, öaß 



N a £ + <5, T) = (T) 

 ist, der sich leicht aus dem Schnee'schen Mittelwertsatz ergibt. Da bei 

 Annahme der Riemann'schen Vermutung die ^-Funktion für o <. — — d 

 ins Unendliche geht — — denn nach Littlewood (C. R. 1911) gilt für 

 a > — -\- 6 [C (s)] > t - od) — — so folgt unmittelbar die Formel 

 für 9? a (T). 



Wir wollen zeigen, daß diese Formel überhaupt gilt, unabhängig 

 von der Riemann'schen Vermutung. 



Mit S v bezeichnen wir den Halbstreifen 



o^>-+-;v — ö<:t<.v-\-l + d. 



Liegt ein Punkt in zwei Halbstreifen, so nennen wir ihn demjenigen S 

 zugeordnet, von dessen Rand er den größeren Abstand hat, im Zweifels- 

 fall dem oberen S. Jeder Punkt o > — -f- ö hat dann wenigstens den 



ö 

 Abstand - vom Rande des zugehörigen S v . Wir betrachten nun solche 



Sv, die frei von Nullstellen der C- Funktion sind. Für alle Punkte 

 {p -j- it) eines solchen S mit o > — -\- ö gilt nach dem Dreikreisesatz 



|t(s)|>t- 0(1 >. 



Wir wollen den Beweis hierfür, der im Wesen von Littlewood stammt l ), 

 noch einmal wiedergeben. Es sei R das nullstellenfreie Rechteck 



2 + 2 = ö =2~2 ; " _ ^ t = 1 '^ 1 ^^ Daja Ö ° rt ' Q (S) = ° (t) 



andererseits 1 1 (2 + it) | > - ist, so folgt 2 ) nach dem Satze von Cara- 



theodory log C (s) = (log t) für alle Punkte von R, die einen 



Minimalabstand > — haben. Diese Punkte bilden ein Rechteck R 3 . 



Nehmen wir als R (1) das Rechteck 1 +^< a <2 — d; r<t<^+l, 

 bezeichnen wir mit R 2 . Das ganz in R 3 liegende Rechteck 



2+ d <°<2~ d > v ~2S t ^ v + 1 + 2' 



*) Littlewood bewies die Ungleichung für alle Punkte unter öer Annahme der R. H. 

 (Comptes renöus 1911). 



2 ) Unter log f (s) ist derjenige Zweig zu verstehen, für öen log f (2 + it) einen 

 zwischen (0,2. t) liegenden Imaginärteil hat. 



