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so liefert der Dreikreisesatz auf die in R 3 reguläre Funktion log t (s) 

 angewandt 



M 2 ^ M^ . M/* = Oo/ 1 . (log t)* 2 = o (log t). 



Also in R 2 



log £ (s) == o (log t). 

 Das heißt aber 



| C (s) | > t - ° (1) . 



S v * sei nun öas Spiegelbild von S v bezüglich der Geraden o = — • 



Hat nun in einem Sv* zugeordneten Punkte t(s) eine a-Stelle, so folgt 

 für sein Spiegelbild s in S*> gemäß der Funktionalgleichung 



a 



X(s) 



Sv kann also nicht nullstellenfrei sein. Unterhalb T kann es aber nach 



1 #2 _i_ O (1) 



Carlson höchstens T ' nicht nullstellenfreie S v geben, also 



auch höchstens so viele a-Stellen behaftete S v *. In jedem S v * können 

 aber nach der Landau'schen Formel für Na (T) höchstens (log T) 

 a-Stellen liegen, weil aus dieser Formel, wie bekannt, folgt 



N* (t + c) — Na (t) = (log t) 

 bei irgendeinem festen c. Mithin ist die Anzahl der a-Stellen im Gebiete 

 o<±-ö l<t<;T 



0(Tl-H° (1) ) . log T = (t i 



C (s) I = 



< t " ° (1) . 



Andererseits ist, wie bereits erwähnt, die Anzahl der a-Stellen im Gebiete 



tf>|+ «5; l<t<T 



Ott) 

 Daraus folgt aber 



^ a (T) = ;f- T log T + (T). 



Die Formeln für 9? (T) und 9? a (T) geben nur eine Aussage über die 

 Anzahl, nicht aber über die Verteilung der Null- und a-Stellen im Halb- 

 streifen |— <5<c <|+<5; 1 <t<T. 



§ 2. 

 Um auch hierüber Aussagen machen zu können, beweisen wir zu- 

 nächst den folgenden Satz: 



Von einem gewissen t = t (a) an ist: 



Na(t+ - , 4 * \-N a (t)>0. 



\ log log log tj 



