Von einer gewissen Höhe t an liegt also in jedem Horizontalstreifen 



4 n 

 von der verschwindenden Schmalheit - — : — : — ; wenigstens eine Null- 

 * n u C4. 11 log log logt 



stelle bzw. a- Stelle. 



Wir beweisen ben Satz zunächst für a = 0. Sei in ber Höhe t 



4 TT 



ber Streifen t < t < t + , — : — . Wir betrachten bas Rechteck, bas 



log log log t 



burch bie Vertikalen o = — 0,5 unb o = 3,5 herausgeschnitten wirb. Denken 

 wir uns bieses Rechteck konform auf ben Einheitskreis abgebilbet, so 

 baß ber Mittelpunkt bes Rechtecks in ben Nullpunkt übergeht unb bie 

 beiben Mittellinien in zwei senkrechte Durchmesser, so ist biese Ab- 

 bilbung burch Schwarz explizit angegeben worben. Durch eine Rech- 

 nung, bie wir am Schluß besonbers ausführen, erhält man bie Gewißheit, 

 baß bas zum ursprünglichen Rechteck konzentrische Rechteck, bessen 

 Seiten sich zu benen bes alten wie 2 : 3 verhalten, ein Bilb hat, welches 

 ganz innerhalb eines Kreises vom Rabius 1 — q# liegt, wo q = (log log t) —1 

 unb # eine feste Zahl unterhalb 1 ist. Wäre nun 'Q (s) nullstellenfrei, 

 so folgte aus ber Caratheobory'schen Ungleichung für bas kleinere Rechteck 



|log £ (s)| < 2q~# (log t + const.) 



wobei wieber berjenige Zweig von log C (s) genommen ist, bei bem 

 im Mittelpunkt bes Rechtecks ber Imaginärteil zwischen — n unb +^ 

 liegt. Es ist also 



|log C (s)| <; 3q-# log t = 3 log t (log log t)#. 



Wir bleiben jetzt beim kleineren Rechteck unb benken uns bieses auf 

 ben Einheitskreis in ähnlicher Weise abgebilbet. Es gibt bann eine 

 feste positive Größe #2 < 1, so baß bas Bilb bes Kreises 1 — q#2 

 Punkte ber horizontalen Mittellinie enthält, bie links von o = | — 10 —i 

 liegen. Ferner gibt es eine feste Größe #1 < 1 so klein, baß bas Bilb 

 bes Kreises 1 — q#i nicht links. ber Vertikalen = 1 -f- 10 ~ l liegt. 

 Wenben wir auf bie brei Kreise r 3 =1, r 2 = 1 — q* 2 , r x = 1 — q#i 

 ben Dreikreisesatz für bie Funktion log C (s) an, so ist 



Mi = 0(i) M 3 = 3 log t . (log log t)# 



Also 

 Dabei ist 



M 2 < Od) "i . 3 Q2 (log t)«a . (log log t)^« 2 



log' 3 



«1 = — r" = titt* — zjl\ °° q' 



r 2 log (1— q*0 « « 



r 3 log (1— q#i) 



lo 2 — 

 r i 



wobei bas Zeichen co auch weiterhin ausbrücken soll, baß ber Quotient 



