§3. 

 Es soll hier die konforme Abbildung eines Rechtecks mit den 

 Seiten 1 und e (q sehr groß) auf den Einheitskreis diskutiert werden. 

 z sei die Variable im Kreise, u die im Rechtedi. Die Ecken des Recht- 

 ecks sind (o, o) (1, o), (1, \q) (o, iq). Die auftretende elliptische 

 Funktion }) (u) hat die Halbperioden co a = 1 , co 2 = ig. Es ist p (coj) 

 = e 1? p (co 2 ) = e 2 , p (a>i + ö> 2 ) = e 3 . ej > e 3 > e 2 sind reelle 

 Zahlen. Die Abbildung ist dann gegeben durch die Gleichung 



fr (u) — e 3 + i v/fei — e 3 ) (e 8 — e 2 ) 



z = L . . 



J) (u) — e 3 — i \/(e! — e 8 ) (e 8 — e 2 ) 



c _ _ f x/e s — e 2 + i x/d — e 3 

 v/e 3 — e 2 — i N/ej — e 3 



Es ist nun 1 ) 



Mu) - e 3 = i 2 2 



#3 (o) . fc> M 



M 2 ^ 4 ^ „ g 03 q2n-l + q6n -3 



l^\ 2 ^ 4 /n n * l o 2I 00 Q 2n 00 q2n-l 



Dabei ist 



& (o) =2^(-l) n q (n + f> (2n + 1); 



/' u \ 2 



03 — == 1 + 2 2 1 q n cos n n u 



/Hj = 2 5 (- 1) n q n( + ^ sin (n + \) n u 



n i co 2 



TT Q 



Q = e «1 = e 



Es ist also 



e x - e 3 =y-2^ 2 q + 0(q 2 ) 

 e 3 — e 2 = 4 TT, 2 q + 16 ^ 2 q 3 + (q 5 ) 



C = — i n/1 - 8 i q| [1 + (q|)] 



*) Siehe z. D. Jorban II pag. 474; 489. 



