V. Abteilung. Mathematische Sektion. 



Dieser Fehler wird zwar in manchen Beweisen des Jaco&i'schen Satzes 

 vermieden — sei es dadurch, daß über die Auflösbarkeit der Gleichung 

 II (f, fi, . ., f n ) = 0, oder über die der Gleichungen f=f{x, x lf . ., x n ), 

 f x = f x [x, x 1 , . . , x n ), . ., f n = f n (x, x t , . ., x n ) gewisse Voraussetzun- 

 gen gemacht werden; aber es wird auch, selbst bis auf die neueste Zeit, 

 der Jacobische Beweis unverändert wiedergegeben; auch in den Anmerkun- 

 gen der Ostwaldschen Ausgabe ist keine Bemerkung hierüber zu finden. 

 Deshalb glaubte der Vortragende einmal darauf hinweisen zu sollen. 



Der Pythagoreische Lehrsatz in der ältesten Geometrie der Inder 



von 

 Professor Dr. H. Vogt. 



Die Geometrie der Inder hat unter dem Einflüsse von M. Cantor bisher 

 als abhängig von der der Griechen gegolten. Durch die Veröffentlichungen von 

 Bürk (Zeitschrift der Deutschen Morgenländischen Gesellschaft Bd. 55. 56) 

 1901 und 1902 ist ein Umschwung der Auffassung eingetreten: es wird 

 jetzt allgemein anerkannt, daß die Inder anschauliche geometrische Wahr- 

 heiten zur Ausführung ihres Opferkults, besonders zum Bau von gesetz- 

 mäßig gestalteten Altären in der Zeit von 2000 bis 1 200 v. Chr. aufgefunden 

 und angewendet haben, daß ein Fall des Pythagoreischen Lehrsatzes (das 

 rechtwinklige Dreieck 15, 36, 39) sich bei ihnen um 800 findet, und daß 

 ein Kodex geometrischer Wahrheiten und Vorschriften in den Sulba-Sutren 

 von 600 — 400 v. Chr. niedergelegt worden ist. Die Unabhängigkeit dieser 

 Geometrie ist außer durch ihr hohes Alter auch durch ihre Eigenartigkeit 

 gewährleistet. 



Zur Zeit der Sulba-Sutren sind die Inder im Besitz des Pythagoreischen 

 Lehrsatzes gewesen, sie wissen Quadrate zu addieren und subtrahieren, 

 Rechtecke in Quadrate zu verwandeln, den Kreis annähernd zu quadrieren, 

 komplizierte Gestalten z. B. einen in Gestalt eines Falken aus Quadraten 

 und Rechtecken zusammengesetzten Altar um eine gegebene Fläche zu ver- 

 größern, ohne die Gestalt zu verändern; auch haben sie einen sehr guten 

 Annäherungswert für die Diagonale eines Quadrats. 



Die Erkenntnisgründe dieses Wissens aber sind entweder die An- 

 schauung oder das Messen mit sehr beschränkter Genauigkeit. Geometrische 

 Abstraktion und deduktives Beweisverfahren ist ihnen unzugänglich; sie 

 bleiben durchaus im Bereiche des ungewissen Suchens und des praktischen 

 Ausführens. So ist zwar der besondere Fall des Pythagoreischen Lehr- 

 satzes (für das Quadrat) adäquat aus der Anschauung erkannt, der all- 

 gemeine Satz aber hat zur Begründung nur die Gültigkeit des besonderen 

 Falles und das Ausprobieren an 8 Fällen von ganzzahligen Pythagoreischen 

 Dreiecken. (Die Inder verwenden die Rechtecksfiguren.) 



Haben die Inder also auch den Pythagoreischen Lehrsatz als allgemein 

 gültig ausgesprochen, so ist er bei ihnen doch keine mit dem Kennzeichen 



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