V. Abteilung. Mathematische Sektion. 



Es ist nun leicht einzusehen, daß das Erzeugnis irgend einer dieser 

 Zuordnungen eine Kurve 4. Ordnung ist, die in A, B, je einen Doppel- 

 punkt hat und die 4 Punkte F zu einfachen Punkten, so daß also die oo 1 

 Zuordnungen ein Büschel 4. Ordnung mit den festen Doppelpunkten A, 

 B, und den einfachen Punkten F lf F/, F 2 , F 2 ' erzeugen. 



Insbesondere können wir irgend einem Strahlenpaar a der Involution 

 [0] den Kegelschnitt des Büschels [F] zuordnen, der die AB in denselben 

 Punkten schneidet wie a; dann gilt dies von jedem Paar entsprechender 

 Elemente, und die Involution und das Kegelschnittbüschel liegen perspektiv 

 inbezug auf die Punktinvolution auf AB. Dann löst sich von der erzeugten 

 Kurve 4. Ordnung die Gerade AB ab, und die Bestkurve ist eine Kurve 

 3. Ordnung, die in einen Doppelpunkt hat und außer durch die Punkte 

 F durch die Punkte A und B geht. 



Lassen wir irgend einem Kegelschnitt des Büschels ein Strahlenpaar 

 der Involution entsprechen, das entweder dem Doppelstrahl OA oder dem 

 Doppelstrahl OB unendlich benachbart ist, so gelangen wir zu 2 anderen 

 zerfallenden Kurven des Büschels. Die eine besteht aus der Doppelgeraden 

 OA und dem von B ausgehenden Geradenpaar F t F 2 , F 1 'F 2 ' und die andere 

 aus der Doppelgeraden OB und dem von A ausgehenden Geradenpaar 



F l F l> F 2 F 2' 



Schließlich ist durch die 5 Punkte A, B, 0, F lr F 2 ' und ebenso durch 

 A, B, 0, Fj', F 2 je ein Kegelschnitt bestimmt, und diese beiden Kegel- 

 schnitte bilden zusammen auch eine zerfallende Kurve des Büschels, indem 

 auf ihnen beiden durch die Strahleninvolution und das Kegelschnittbüschel 

 dieselbe Involution eingeschnitten wird. 



Wir wenden uns nunmehr zu folgender Aufgabe, die mit einem 

 Kurvenbüschel der beschriebenen Art in einem gewissen Zusammenhang 

 steht: 



Wenn ein Kreis % gegeben und in derselben Ebene 2 feste Punkte 

 A und B, die Punkte X auf x zu ermitteln, nach denen ein von A aus- 

 gehender Lichtstrahl zielen muß, um nach der Brechung an dem Kreise, 

 der 2 optisch verschiedene Medien trennt, nach B zu gelangen. 



Es sei der Mittelpunkt des Kreises x, X ein Punkt der gesuchten Art, 

 also OX das Einfallslot, a der Einfallswinkel, ß der Brechungswinkel, n der 



Brechungsexponent. Dann ist — — E = n. Stehen AM und BN senkrecht aufOX, 



sm p 



AM . BN ..... AM BX 



so ist sm a = — — , sm ß = — — , folglich r=-r7 • r-= = n. Ist K der Schnitt- 

 AX' ^ BX' 5 BN AX 



i at, .AM AR piri AX AR , 



punkt von OX und AB, so ist — — = — — , folglich ^= = n. — ■ oder 



, AX , AR 



A = n • p, wenn — — = A, — = p gesetzt wird. 



BX ' BR 



