V. Abteilung. Mathematische Sektion. 



Doppelpunkten hat und zu einfachen Grundpunkten die beiden unendlich 

 fernen Kreispunkte und die beiden anderen konjugiert imaginären Grund- 

 punkte des Kreisbüschels, das sind die beiden Punkte, in denen die Mittel- 

 senkrechte auf AB von den Doppelstrahlen der Zirkularinvolutionen um 

 A und B getroffen wird. 



Jedem absoluten Zahlenwerte von n entspricht eine bestimmte Kurve 

 des Büschels, und diese schneidet jeden Kreis um den Punkt außer in 

 den beiden unendlich fernen Kreispunkten in 6 Punkten der Art, daß ein 

 von A nach einem dieser Punkte geworfener Lichtstrahl an dem Kreise so 

 gebrochen wird, daß er oder seine Rückverlängerung nachher durch B 

 geht. Freilich sind hierbei die in Wirklichkeit außer bei n = 1, nämlich 

 bei der Reflexion, nicht vorkommenden Fälle einbegriffen, wo der gebrochene 

 Strahl mit dem einfallenden auf derselben Seite des Einfallslotes liegt. 



Demnach ist, wie bekannt, die Diakaustik eines Kreises inbezug auf 

 einen Punkt A, d. h. die von den Strahlen des Strahlenbüschels A nach 

 der Brechung am Kreise eingehüllte Kurve eine solche 6. Klasse. 



Setzen wir n = + 1, so liegen das Kreisbüschel und die Strahlen- 

 involution [0] inbezug auf die Punktinvolution mit den Doppelpunkten A 

 und B perspektiv, und die entsprechende Kurve des Büschels 4. Ordnung 

 zerfällt in die Gerade AB und eine Kurve 3. Ordnung, die in einen 

 Doppelpunkt hat, die Punkte A und B nur noch zu einfachen Punkten. 

 Diese Kurve 3. Ordnung, die also auch die beiden unendlich fernen Kreis- 

 punkte sowie die beiden andern konjugiert imaginären Grundpunkte des 

 Kreisbüschels enthält, die, wie sich leicht zeigen läßt, die Fußpunkte der 

 von auf die AB und ihre Mittelsenkrechte gefällten Lote enthält, deren 

 reeller unendlich ferner Punkt auf OM liegt, wo M die Mitte von AB ist, 

 und deren Doppelpunktstangenten die von OA und OB gebildeten Winkel 

 hälften, schneidet jeden Kreis um den Punkt außer in den unendlich 

 fernen Kreispunkten in 4 Punkten, die so beschaffen sind, daß ein Licht- 

 strahl, der von A nach einem von ihnen gelangt, am Kreise so reflektiert 

 wird, daß er oder seine Rückverlängerung nach der Reflexion durch B 

 geht. Diese Punkte zu finden, verlangt die sogenannte Alhazensche Auf- 

 gabe, die schon von Huyghens für einen bestimmten Kreis und 2 Punkte 

 A und B durch eine gleichseitige Hyperbel gelöst wurde, deren 4 Schnitt- 

 punkte mit dem Kreise die gesuchten sind. Unsere Lösung, obgleich durch 

 eine Kurve 3. Ordnung bewirkt, hat den Vorteil, daß diese Kurve alle 

 Kreise mit dem Mittelpunkte in den gesuchten Punkten schneidet. 



Eine andere zerfallende Kurve des Büschels 4. Ordnung besteht, wie 

 wir früher sahen, aus 2 Kegelschnitten, die beide durch die Punkte A, 

 B, gehen, und von denen der eine noch die beiden unendlich fernen 

 Kreispunkte, der andere die beiden anderen konjugiert imaginären Grund- 

 punkte des erzeugenden Kreisbüschels enthält. Der erste ist also der durch 

 die Punkte A, B, bestimmte Kreis, der zweite, wie man leicht zeigt, 



