> Jahresbericht der Schles. Gesellschaft für vaterl. Cultur. 



eine gleichseitige Hyperbel, deren Mittelpunkt die Mitte von AB ist, und 

 die jenen Kreis außer in A. B und in einem 4. Punkte Y so schneidet 

 daß OY ein Durchmesser des Kreises ist. 



Die Asymptoten dieser Hyperbel ergeben sich, -wenn wir durch die 

 Mitte von AB die Parallele zu OY legen, als die Geraden, die die von dieser 

 Geraden und der Mittelsenkrechten von AB gebildeten Winkel hälften. 



Es fragt sich, welchem Werte von n diese zerfallende Büschelkurve 

 entspricht. Da der durch die Punkte A. B. bestimmte Kreis ein Bestand- 

 teil der zerfallenden Kurve ist. so schneiden wir ihn mit irgend einem 

 Kreise um und verbinden einen der beiden Schnittpunkte mit A und B. 

 Dann stellen diese beiden Geraden einen einfallenden und einen gebrochenen 

 Strahl vor. und eine einfache Überlegung zeigt, daß der zugehörige Brechungs- 



exponent den Wert - — — hat, wenn <£. A = GAB. <t B = OBA gesetzt ist. 

 sm b 



Die den Werten n = und n = oo entsprechenden zerfallenden 

 Büschelkurven bestehen aus je einer der Doppelgeraden AO und BO und 

 dem Doppelstrahlenpaar der Zirkularinvolution um B bezw. um A. 



Wählen wir nun einen bestimmten Kreis um den Punkt 0, so schneiden 

 die Kurven des Büschels 4. Ordnung auf ihm eine Involution 6. Ordnung 

 ein. Jede Punktgruppe dieser Involution entspricht einem bestimmten 

 Bi vihungsexponenten und enthält die Punkte, nach denen Strahlen von A 

 ausgesandt -werden müssen, damit sie nach der Brechung an diesem Kreise 

 nach B gelangen. Jede solche Punktgruppe gehört also auch zu einer Dia- 

 kaustik des Punktes A inbezug auf den Kreis, und die Strahlen, die von B nach 

 den Punkten der Gruppe gehen, sind die Tangenten von B an die betreffende 

 Diakaustik. die so als Kurve 6. Klasse erkannt wurde. Nun enthält eine 

 Involution 6. Ordnung 10 Komcidenzen, von denen uns indessen schon 

 4 bekannt sind, nämlich die Schnittpunkte der beiden Doppelgeraden OA 

 und OB der letztgenannten zerfallenden Kurven des Büschels mit dem 

 Kreise. 



E~ kommt also 6 mal vor, daß 2 von B an eine Diakaustik des Kreises 

 inbezug auf A gehende Tangenten zusammenfallen, und dann ist B ein 

 Punkt der Diakaustik selbst. Demnach gehen im allgemeinen 6 Diakaustiken 

 eines Punktes A inbezug auf einen festen Kreis durch irgend einen Punkt B. 



Zentrale und windschiefe Raum-Verwandtschaften. 



Von 



Dr. Wolfgang Yogt. 



ili Unter den räumlichen Kollineationen spielen die zentrale 

 und die windschiefe Kollineation eine besondere Rolle. Sie sind 

 wesentlich dadurch ausgezeichnet, daß der Ort der Yerbindungsgraden von 

 entsprechenden Punkten nicht, wie im allgemeinen Falle, ein tetraedraler 

 Komplex ist. sondern in der zentralen Kollineation ein Strahlenbündel, 



