V. Abteilung. Mathematische Sektion. 



in der windschiefen ein Strahlennetz. Die nachfolgende Untersuchung 

 stellt sich die Frage: Können auch Cremonasche Raum-Ver- 

 wandtschaften höheren Grades zentral bezw. windschief sein, 

 d. h. zum Orte der Verbindungsgraden entsprechender Punkte ein Strahlen- 

 bündel bzw. ein Strahlennetz haben, und sind sie in diesem Falle durch 

 ähnlich wichtige Eigenschaften ausgezeichnet, wie die entsprechenden 

 Kollineationen? 



Ich behandle ausführlich die windschiefen Transformationen, da- 

 nach kann ich mich bei den leichteren zentralen auf eine Angabe der 

 wichtigsten Sätze beschränken. 



(2) Mein Gedankengang ist der folgende: Ich nehme die Existenz 

 einer Cremonaschen Verwandtschaft [m, n] der Räume 2 X , 2 2 an, in 

 welcher die Verbindungsgraden entsprechender Punkte ein Strahlennetz 

 mit den windschiefen Leitgraden g = g x = g 2 ', 1 = l x = 1 2 ' bilden; g, 

 1 können auch imaginär sein, doch behandle ich sie hier wie reelle. Aus 

 dieser Annahme leite ich notwendige Eigenschaften der Verwandtschaft ab. 

 Komme ich dabei auf Widersprüche, so ist meine Annahme falsch, andern- 

 falls suche ich durch die nachgewiesenen Eigenschaften eine Konstruktion 

 der Verwandtschaft zu gewinnen und beweise damit ihre Existenz. 



(3) Der entsprechende jedes Punktes sowohl in S x wie in 2 2 liegt 

 auf dem von ihm kommenden Netzstrahl. Darum herrscht auf 

 edem Netzstrahl eine Projektivität von entsprechenden Punkten. 



Einer Graden x = x, = x 2 ' entspricht in 2 2 eine Raumkurve 



von m ter Ordnung x 2 , in S x eine Piaurnkurve von n ter Ordnung x x ' . 



Beide Kurven verlaufen auf der Regelschaar von Netzstrahlen, welche sich 



auf x stützt. Auf jedem Strahl dieser Regelschaar liegt nur ein Punkt 



m . 



von jeder Kurve . x 2 schneidet darum jede Grade der Leitschaar in m — 1 



Punkten, die m — 1 Punkte auf x müssen notwendig sich selbst entsprechende 



Punkte sein. x x ' schneidet jede Grade der Leitschaar in n — 1 Punkten, 

 die n — 1 Punkte auf x müssen wieder sich selbst entsprechen. Wir er- 

 halten einmal auf jeder Graden (m — 1), das andre mal auf jeder Graden 

 (n — 1) sich selbst entsprechende Punkte; das ist ein Widerspruch, wenn 

 m^n ist: Eine Verwandtschaft kann jedenfalls nur dann 

 windschief sein, wenn sie in beiderlei Sinne von gleichem 

 Grade ist. 



(4) Wir fahren fort mit der Annahme einer windschiefen Verwandt- 

 schaft [n, n]. 



Einer Graden x entspricht in 2 t und S 2 je eine Raumkurve n ter 



Ordnung x 2 , x t ' ; beide verlaufen auf der Regelschaar von Netzstrahlen, 

 welche sich auf x stützt, und schneiden jede Grade der Leitschaar in je n — 1 

 Punkten, so auch x, g, 1. 



