16 Jahresbericht der Schles. Gesellschaft für vaterl. Cultur. 



7. Ich erhalte eine durchweg involutorische zentrale Verwandtschaft, 



wenn ich w 2 und (ö/ in die erste Polare des Punktes bezüglich 



der Fläche O zusammenfallen lasse. 



(14) Ein anschauliches Beispiel liefert die zentrale quadratische Ver- 

 wandtschaft. Die Fläche <& von sich selbst entsprechenden Punkten ist 

 zweiter Ordnung, die dem entsprechenden Flächen w werden Ebenen, 

 deren Schnitte mit 3> von aus durch denselben Kegel zweiten Grades 

 projiziert werden. Durch Spezialisierung geht aus ihr die quadratische 

 Inversion und die Abbildung der reziproken Radien hervor. 1 ) 



Konjugierte Punkte beim isoperimetrischen Problem. 



Von 



Adolf Kneser. 



Der Kreisbogen ist bekanntlich von allen Kurven derselben Länge mit 

 denselben Endpunkten diejenige, die mit ihrer Sehne die Fläche größten 

 Inhalts umschließt. Wir wollen uns einmal fragen, ob diese Eigenschaft 

 auch einem Kreisbogen von mehr als 360° Zentriwinkel zukommt, und 

 müssen dabei zunächst festsetzen, was wir unter Länge und Fläche ver- 

 stehen wollen. Die Länge macht keine Schwierigkeiten; denn offenbar 

 ist es naturgemäß, jede mehrfach durchlaufene Strecke einer Kurve ent- 

 sprechend vielfach mit ihrer Länge anzurechnen. Die einfachste Definition 

 der von einer Kurve AB und ihrer Sehne AB umschlossenen Segment- 

 fläche, die für die gestellte Frage allgemein genug ist, dürfte folgende 

 sein: man lasse den Punkt P längs der Kurve von A nach B laufen, und 

 nehme jedes vom Radiusvektor AP überstrichene Flächenelement positiv 

 oder negativ, je nachdem der Radius sich in einem beliebig festgesetzten 

 positiven oder dem entgegengesetzten negativen Sinne dreht; dann ist die 

 algebraische Summe aller dieser Elemente das, was wir unter dem Segment 

 verstehen wollen, und fällt offenbar mit der gewöhnlich so genannten 

 Fläche oder ihrem entgegengesetzten zusammen, wenn die Kurve AB mit 

 ihrer Sehne AB außer A und B keinen Punkt gemein hat. 



Mit dieser Definition hat es einen guten Sinn zu fragen, ob ein Kreis- 

 bogen, der mehr als eine volle Kreisperipherie enthält, die erwähnte 

 isoperimetrische Extremumseigenschaft noch besitzt. In Fig. 1 hat z. B. 

 der Bogen ABGAB, dessen Umlaufssinn der positive sei, als Segment die 

 Kreisfläche vermehrt um das gewöhnliche Segment des im angegebenen Sinne 

 durchlaufenen Bogens AB. Man denke sich nun eine dem Bogen ABGAB 

 benachbarte Kurve von derselben Länge zwischen A und B gezogen, etwa 



!) Näheres siehe meine Dissertation Nummer (14). 



