V. Abteilung. Mathematische Sektion. 1 7 



die punktierte ; dann erhebt sich die Frage, ob das im angegebenen Sinne 

 bestimmte Segment der punktierten Kurve AB größer oder kleiner ist als 



%/ 



jene Summe aus Kreisfläche und Kreissegment, oder etwa dieser Summe 

 gleich. Diesen letzten Fall wollen wir verwirklichen und einen Bogen 

 ABC AB konstruieren, der die isoperimetrische Extremumseigenschaft nicht 

 mehr besitzt. 



Diese Tatsache gewinnt dadurch ein besonderes Interesse, daß sie ein 

 schönes Beispiel zu der in der Variationsrechnung entwickelten Theorie 

 der konjugierten Punkte liefert, für die bei den isoperimetrischen Aufgaben 

 bisher nur Beispiele vorliegen, bei denen schwer übersehbare Rechnungen 

 anzustellen sind, oder durch die Annahme veränderlicher Endpunkte be- 

 sondere Komplikationen theoretischer Natur hervorgerufen werden. 



Bei den isoperimetrischen Problemen hat es mit diesen konjugierten 

 Punkten folgende Bewandtnis. Eine Extremale des Problems, d. h. eine Kurve, 

 die der aus der Extremumsforderung nach den Regeln der Variations- 

 rechnung folgenden Differentialgleichung genügt, gehe vom Punkte A aus; 

 dann ist auf ihr B der zu A konjugierte Punkt, wenn A und B noch 

 durch eine zweite Extremale verbunden werden können, die der ersten 

 unendlich nahe liegt und zwischen A und B dieselbe Bogenlänge wie 

 diese ergibt. Beim isoperimetrischen Problem des größten Flächen- 

 inhalts sind die Extremalen Kreise; wenn man also nach Paaren konjugierter 

 Punkte sucht, so fragt es sich, ob zwei Punkte A und B durch zwei un- 

 endlich nahe benachbarte Kreisbögen von gleicher Länge verbunden werden 

 können. Man überzeugt sich leicht davon, daß das nur bei Kreisbögen, 

 die über einen vollen Kreisumfang hinausgehen, möglich ist. 



Die Gleichung eines Kreises kann nämlich, wenn r, tp gewöhnliche 

 Polarkoordinaten sind und der Anfangspunkt r = auf dem Kreise liegt, 

 in der Form 



(1) r = 2a sin (<p — b) 



geschrieben werden. Dabei bedeutet a den Radius, b den Winkel der 

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