V.Abteilung. Mathematische Sektion. 19 



Wir schließen aus dieser Formel allgemein 

 ^— da ~\- ^r db = 5p — fc — swfy — öj — cosfy — fr) 



setzt man q> — b = n -\- cc, so findet man 



cf 1 _ , 8f 

 3a 



/2aöa — /8a 2 sin 2 (g> — b)db ; 



da-\- -kt db = — - 2 a iget sinet sin (n -\- et) da — a cos (n-\-ct) db . 



Zufolge der ersten Gleichung (2) gilt also, wenn da und db hier die- 

 selben Differentiale wie oben sind, im Punkte B die Gleichung 



(4) %- da + %- db = 0. 



da ob 



Daß diese Gleichung mit den unter (2) angeführten zusammen be- 

 steht, ist kein Zufall, sondern kann aus allgemeinen, der Variationsrechnung 

 entspringenden Erwägungen abgeleitet werden. Der Kreis ist nämlich 

 auch die Extremale bei der Aufgabe, die kürzeste Kurve von gegebener 

 Segmentfläche zu finden, und auch die konjugierten Punkte sind nach 

 einer von Mayer herrührenden Bemerkung bei der neuen Aufgabe die- 

 selben, wie bei der ursprünglichen isoperimetrischen. 



Jetzt betrachten wir die Gesamtheit der durch A gehenden Kreise, 

 bestimmen auf jedem von ihnen den Punkt B und suchen eine einfach 

 unendliche Schar auszusondern, die eine Enveloppe haben und diese in 

 den Punkten B berühren. Diese Enveloppe schneidet den Radius AB unter 

 dem konstanten Winkel cc, der Hälfte des über jedem Bogen AB stehenden 

 Zentriwinkels, sie schneidet also die von A ausgehenden Geraden unter 

 festem Winkel und ist demnach eine logarithmische Spirale. 



Umgekehrt kann man von jedem beliebigen Bogen AB aus eine solche 

 Enveloppe konstruieren; man nehme die in B den Kreisbogen berührende 

 logarithmische Spirale und auf ihr den Punkt B t ; der hier berührende 

 Kreisbogen AB 1 hat wegen der erwähnten charakteristischen Eigenschaft 

 der Spirale denselben Zentriwinkel 2a wie AB, so daß B x wirklich zu den 

 definierten Punkten B gehört. Die zum Punkte B t gehörigen Größen r, 

 l, f, a, b können als Funktionen von (p betrachtet werden, und erfüllen 

 als solche die Beziehungen (3), aus deren zweiter folgt 



da 

 db = (n -j- cc) — , b = (n -j- et) log a -f- const. ; 



da nun 



r = 2a sin (n -\- et), <p = b -\- n -\- et, 

 so findet man 



n -j- et 



<jp = (n -\- a) log r -\- const., r = ce 



wobei c eine von g> unabhängige Größe bedeutet. 



