V.Abteilung. Mathematische Sektion. 21 



Die Größen /' -j- F und l -\- L sind also von der Lage des Punktes 

 B auf der Spirale unabhängig, und man kann sie bestimmen, indem man 

 B in die Lage C rücken läßt; dann geht f -j- F in die Segmentfläche, 

 l -j- L in die Länge des Kreisbogens ACEAC über. Sind diese Größen 

 f und l Q , so hat man die Gleichungen 



f = /■ + F, l = l + L- 



Sieht man daher den Bogen ABDAB vermehrt um das Spiralenstück 

 BC als eine zweite Verbindung von A und C an, die wir mit dem Bogen 

 ACEAC vergleichen, so sind zwischen A und C zwei Kurven von 

 gleicher Länge und gleicher Segmentfläche hergestellt, und 

 der Kreisbogen ACEAC, dessen Zentriwinkel das Doppelte der 

 kleinsten positiven Wurzel der Gleichung tang x = x ist, hat 

 die isoperimetrische Extremumseigenschaft nicht mehr; es 

 gibt zwischen seinen Endpunkten gleichlange Bögen, die auch 

 dieselbe Segmentfläche liefern. 



Besonders hübsch erscheint bei diesem Resultat, daß eine so einfache 

 und bekannte Kurve, wie die logarithmische Spirale, das Aufhören der 

 Extremumseigenschaft des Kreisbogens ersichtlich macht. Damit ist die 

 Kurve, die Jacob Bernoulli als Symbol der Unsterblichkeit auf seinen 

 Grabstein setzen ließ, mit dem Problem in engste Verbindung gebracht, 

 dessen exakte Behandlung dem großen Forscher seinen höchsten Ruhmes- 

 titel erworben hat. 



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1906. 



