8 Jahresbericht der Schles. Gesellschaft für vaterl. Cultur. 



Weiter ergibt sich aus den Proportionen 



ab : b = a : 1 , 

 ac : c = a : 1 

 die Folgerung 



ab : b = ac : c, 



und hieraus, indem man die Innenglieder vertauscht, 



ab : ac = b : c. 

 Auf Grund dieses Resultats ersieht man, daß in jeder Proportion 

 das Produkt der äußeren Glieder dem der inneren gleich ist*, denn man 

 hat die Proportionen 



ad : bd — - a : b, bc : bd = c : d •, 

 wenn also 



a : b = c : d, 

 so folgt 



ad : bd = bc : bd, 



ad : bc = bd : bd, 

 also ad = bc. 



Jetzt folgt leicht, daß die Multiplikation assoziativ ist; denn aus der 

 Proportion 



ab : ac = b : c 

 ergibt sich 



(ab) c = (ac) b. 

 Endlich erhält man die distributive Eigenschaft 

 a (b -f- c) = ab -}- ac? 

 indem man von der Proportion 



ab : ac = b : c 

 oder 



ab : b = ac : c 



ausgeht, und die zweite der oben angeführten, geometrisch abzuleitenden 

 Fundamental eigenschaften der Proportion anwendet; da ergibt sich 



ab -f- ac : b -f- c = ab : b 



oder 



ab -|- ac : b -f- c = a : I , 

 woraus nach der Definition des Produkts die behauptete Gleichung folgt. 



Hiermit sind die arithmetischen Regeln des Multiplizierens und Ad- 

 dierens auf unsere Streckenrechnung übertragen ; Subtraktion und Division 

 bieten keinerlei Schwierigkeiten dar, und man kann bei den Beweisen der 

 algebraischen Geometrie die Rechnungen mit Maßzahlen durch die formell 

 mit ihnen übereinstimmenden Rechnungen mit Strecken ersetzen, die geo- 

 metrisch definiert und begründet sind. 



An beide Vorträge schloß sich eine lebhafte Diskussion; bei dem 

 zweiten wurde insbesondere die Frage erörtert, ob und wie es möglich 

 wäre, die neuere, rein geometrische Begründung der Proportions- und 

 Ähnlichkeitslehre in den Schulunterricht einzuführen. 



