II. Abteilung. Naturwissenschaftliche Sektion. 163 



Es wird sich jetzt darum handeln, % zu berechnen, was mit Hilfe des 

 zweidimensionalen Greenschen Satzes geschieht. 



§ 6. 

 Lösung der zweidimensionalen Gleichung für das Vektor- 

 potential 31. 



a. Mathematische Hilfsbetrachtung: der zweidimensionale 

 Green sehe Satz. 



Um die Gleichung (38 b) zu lösen, schreibe ich sie in Zylinder- 

 koordinaten. Es ist: 



r 8r \ 8r/ r 2 8 cp 2 8z 2 



Für unendlich lange Zylinder verschwinden die Differentiationen nach z. 

 Es ist also: 



8 2 2l 



r or \ i)r/ H 



8cp 2 ' 

 so daß Gleichung (38b) die Form annimmt: 



1 ff '/ 3ä\ . 1 a 2 21 1 8 2 2t — 4up~~o 



V 87) + 7^ 



(4' 



r 8r V 8r/ r 2 8cp 2 c 2 8 t 2 c 



Ich löse zunächst die homogene Wellengleichung: 



r 8r \ drj "*" r 2 8 cp 2 c 2 8 1 2 



und setze als Lösung an: f 



in (t+I\ 



)( = e \ c / W m (r) cos m cp. 



Setze ich diesen Ausdruck in Gleichung (48) ein, so erhalte ich für 

 W (r) die Besselsche Differentialgleichung: 



W" (K r) + j-L W (k, r) + (l - ^Q W (k, r) = 0, 



deren Lösung für nach außen fortschreitende Wellen lautet: 



W m = Qm (K r), 



(49) 



so daß ich erhalte: 



in (t ■+-!■) 



X = e V c / Qm (kj r) cos m cp. 



Ich wähle als Hilfsfunktion für den Greenschen Satz: 



U = Q (kj r) (50) 



und stelle für U und 2t den Greenschen Satz auf: 



Dabei ist x ein zylindrischer Raum von der Höhe h und beliebiger Grund- 

 fläche F, deren Kontur s ist. Aus diesem Räume schließe ich den Punkt P 



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