V. Abteilung. Mathematische Sektion. 



daß dieser Wert h von |x| bei der Bewegung tatsächlich erreicht wird 

 und somit ihre Amplitude ist, wird sich später zeigen (vgl. GL (12)). Nun 

 kann man die Gesamtenergie e durch h ausdrücken: 



(6) e = mc2 + la2h2, 



und (4) wird sodann 



= 1 a'^(h^ — x^) + mc^ 



Löst man diese Gleichung nach x auf, so folgt 



j/ |i a2(h2 _ x2) + mc4'_ m^c^ 



c 



Ia2(h2_x2) + mc2 



Vereinfacht man den Radikanden und trennt dann die Variabein, so 

 ergibt die Integration, wenn man noch (vgl. (4)) die weitere Grenz- 

 bedingung 



(8) für x = sei t == t„ 



einführt, folgende Lösung unserer Aufgabe: 



X 



/l a2(h2 — x2) 4- mc2 

 w dx = ac(t — toj. 



|'(h2 _ x^)(- a2(h2 — x2) + mc«) 

 

 Um eine genauere Diskussion von (9) zu ermöglichen, werde das 

 links stehende elliptische Integral auf die Jacobischen elliptischen Funk- 

 tionen snu und Z(u) zurückgeführt. Zu diesem Zwecke ersetze man die 

 Variable x mittels der Gleichung 



x = h^ 

 durch ^; ferner führe man die Größe 



-^- a2h2 



(10) = k« 



mc^ -|- - a^h^ 

 4 



ein, die offenbar immer reell positiv und kleiner als 1 ist; unter k selbst 

 sei die positive Quadratwurzel aus k^ verstanden. Dann geht das ellip- 

 tische Integral in (9) über in: 



I 



2k 



l^^l+k 



J V{i-l^)(i _k^^^) J K(i 



-l') (l-k^^^) 



( 



i* 



