V. Abteilung. Mathematische Sektion. 1 3 



Aus (31) folgt hier: 



oder mit Berücksichtigung von (7) 

 . ^^ mc P 



dx 



K(h2 — x2) (1 a2 (h2 — x2) + mc2) 



Die Eigenzeit ist also als Funktion von x durch ein elliptisches 

 Integral 1. Gattung bestimmt. 



Nun führe man gemäß (10), (IIa) und (12) die Konstanten k und k' 

 sowie die neue Variable u ein. Wählt man dann als Anfangs- 

 bedingung, daß 



(41) für u ^ X ^ Xq 

 sei, so folgt aus (40): 



(42) ,_,„=_.„. 



Der früher aus rein mathematischen Gründen eingeführte Para- 

 meter u hat also die mehr physikalische Bedeutung, daß er die 

 Eigenzeit x des Punktes mißt. 



Die oben für den linearen Oszillator gewonnene Lösung (14) kann 

 man daher in der Form schreiben: 



(43) 



T-ck , , , h ^ /2ck , N 



die zweite Gleichung insbesondere bestimmt hier die Eigenzeit als Funktion 

 der wirklichen Zeit. Für gegen c kleine Geschwindigkeiten artet (42) 

 gemäß den in § 1 angegebenen Beziehungen aus in: 



(42*) X — Xo = — -u. 



Ferner geht die zweite Gleichung von (43) über in: 

 (43*) X — Xo=t — to, 



und falls Xq = Iq angenommen wird, wird auch x = t. Die Eigenzeit 

 verwandelt sich also in die gew^öhnliche Zeit, und die beiden Gleichungen 

 (43) lassen sich dann in die folgende zusammenziehen: 



(43**) x = hsin(^(t-to)). 



Schließlich möge noch die Eigenzeit des in § 2 behandelten räum- 

 lichen Oszillators ermittelt werden. 

 Aus (31) und (24) folgt 



