V Abteilung. Mathematische Sektion. 21 



In der gewöhnlichen Theorie ist (73) zu folgender Gleichung aus- 

 geartet : 



(73*) ' = f!/r7rilTl- 



Hier wird das Integral erst elliptisch, wenn X vom 2. oder 3. Grade 

 ist, und zwar ist es dann von 1. Gattung; bei höherem Grade von X 

 erhält man wieder ein hyperelliptisches Integral. 



Die Eigenzeit, deren Ermittlung bei der New ton sehen Aufgabe- 

 stellung freilich nicht notwendig ist, ergibt sich gemäß (39) so: 



(74) , = mc/p^Jg^^=|=^pp. 



Diese Beziehung ist also mathematisch der Gl. (73) sehr ähnlich, 

 jedoch einfacher; so ist es verständlich, daß t als Hilfsvariable brauchbar 

 sein kann (vgl. § 3). 



Faßt man die wirkende Kraft X als eine Minkowskische auf, so lautet 

 die Differentialgleichung der Bewegung 



d^x 



(75) - It^ = ^- 



Bei Benützung der Minkowski sehen Kraft hat man immer den 

 großen Vorteil, daß man das Integral der Bewegungsgleichung sofort aus 

 der gewöhnlichen Theorie entnehmen kann. So liefert hier (73*) un- 

 mittelbar die Lösung: 



lfm r dx 



('«) -Fl/, 



[^/Xdx + e' 



entsprechend den oben gemachten Ausführungen ist sie mathematisch viel 

 einfacher gebaut als (73), d. h. als die Lösung bei Anwendung der 

 Newton sehen Kraft. 



Die mathematische Schwierigkeit liegt bei der Fragestellung nach 

 Minkowski an einem anderen Orte, nämlich in der hier unbedingt 

 erforderlichen Ermittlung des Zusammenhanges der Eigenzeit mit der 

 wirklichen Zeit. Man muß zu diesem Zweck das Integral (76) umkehren, 

 so daß man x als Funktion von x erhält, nötigenfalls unter Ein- 

 führung eines Parameters; dann gibt Gl. (49b) die gewünschte Beziehung 

 zwischen t und x. 



Wie sowohl die im einzelnen durchgeführten Beispiele als auch die 

 zuletzt angestellten allgemeinen Betrachtungen zeigen, hat in der Relativ- 

 theorie sowohl der Newtonsche wie der Minkowskische Kraftbegriff 

 je seine besonderen Vorzüge, und vom Standpunkte der Mechanik aus 

 sind beide Begriffe gleich berechtigt. Erst die weitere Erfahrung kann 

 lehren, ob in physikalischer Hinsicht der eine von ihnen den Vorrang 

 verdient. 



1911. 3 



